Método

Ejercicios: La derivada en un punto

f′(a)=lim⁡h→0[f(a+h)−f(a)]/hf'(a) = \lim_{h \to 0} [ f(a+h) - f(a) ] / h

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá f′(1)f'(1) por definición para f(x)=2x2+xf(x) = 2 x^{2} + x.

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1. Escribimos el cociente incremental. f′(1)=lim⁡h→0f(1+h)−f(1)hf'(1) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}

2. Desarrollamos el numerador. f(1+h)=2h2+5h+3f(1 + h) = 2 h^{2} + 5 h + 3 y f(1)=3f(1) = 3, así que la resta da 2h2+5h2 h^{2} + 5 h.

3. Simplificamos la fracción. Sacamos hh de factor común y cancelamos: queda 2h+52 h + 5.

4. Tomamos el límite. Cuando h→0h \to 0 el término con hh desaparece y queda f′(1)=5f'(1) = 5.

Respuesta: f′(1)=5f'(1) = 5

2. Calculá f′(4)f'(4) por definición para f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}.

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1. Escribimos el cociente incremental. f(4+h)−f(4)h=14+h−14h\dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{4 + h} - \dfrac{1}{4}}{h}

2. Restamos las fracciones de arriba. 14+h−14=4−(4+h)4(4+h)=−h4(4+h)\dfrac{1}{4 + h} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4 - (4 + h)}{4(4 + h)} = \dfrac{-h}{4(4 + h)}

3. Dividimos por hh. Queda −14(4+h)\dfrac{-1}{4(4 + h)}, ya sin la indeterminación.

4. Tomamos el límite. Con h→0h \to 0 el denominador tiende a 1616, así que f′(4)=−116f'(4) = - \dfrac{1}{16}.

Respuesta: f′(4)=−116f'(4) = - \dfrac{1}{16}

3. Estimá f′(1)f'(1) para f(x)=2x2f(x) = 2 x^{2} calculando el cociente incremental con h=0,1h = 0{,}1, h=0,01h = 0{,}01 y h=0,001h = 0{,}001.

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1. Escribimos el cociente que hay que evaluar. f(1+h)−f(1)h\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}, con f(1)=2f(1) = 2.

2. Calculamos con el primer hh. f(1,1)−20,1=4,2\dfrac{f(1{,}1) - 2}{0{,}1} = 4{,}2

3. Repetimos con los otros dos. Dan 4,024{,}02 y 4,0024{,}002.

4. Miramos hacia dónde van. Los valores se acercan a 44 a medida que hh se achica. La tabla sugiere el resultado; el límite exacto da f′(1)=4f'(1) = 4.

Respuesta: f′(1)=4f'(1) = 4

4. El caudal de un tanque es Q(t)=−4t2+25tQ(t) = - 4 t^{2} + 25 t litros a los tt minutos, y Q′(1)=17Q'(1) = 17. Interpretá el signo y las unidades de ese número.

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1. Recordamos qué mide la derivada. Es el cambio instantáneo: cuánto varía la función por unidad de la variable, justo en ese punto.

2. Escribimos las unidades. La función está en litros y la variable en minutos, así que Q′(1)Q'(1) está en litros por minuto.

3. Interpretamos el signo. Como 1717 es positivo, en ese instante el contenido está aumentando.

4. Aclaramos la diferencia con la tasa media. Es un valor instantáneo, no un promedio de un tramo: describe qué está pasando exactamente a los 11 minutos.

Respuesta: 1717 litros por minuto: el nivel está subiendo en ese instante

5. Calculá f′(2)f'(2) por definición para f(x)=x2+3xf(x) = x^{2} + 3 x.

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1. Escribimos el cociente incremental. f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)hf'(2) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}

2. Desarrollamos el numerador. f(2+h)=h2+7h+10f(2 + h) = h^{2} + 7 h + 10 y f(2)=10f(2) = 10, así que la resta da h2+7hh^{2} + 7 h.

3. Simplificamos la fracción. Sacamos hh de factor común y cancelamos: queda h+7h + 7.

4. Tomamos el límite. Cuando h→0h \to 0 el término con hh desaparece y queda f′(2)=7f'(2) = 7.

Respuesta: f′(2)=7f'(2) = 7

6. Calculá f′(2)f'(2) por definición para f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}.

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1. Escribimos el cociente incremental. f(2+h)−f(2)h=12+h−12h\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{2 + h} - \dfrac{1}{2}}{h}

2. Restamos las fracciones de arriba. 12+h−12=2−(2+h)2(2+h)=−h2(2+h)\dfrac{1}{2 + h} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)} = \dfrac{-h}{2(2 + h)}

3. Dividimos por hh. Queda −12(2+h)\dfrac{-1}{2(2 + h)}, ya sin la indeterminación.

4. Tomamos el límite. Con h→0h \to 0 el denominador tiende a 44, así que f′(2)=−14f'(2) = - \dfrac{1}{4}.

Respuesta: f′(2)=−14f'(2) = - \dfrac{1}{4}

7. Estimá f′(2)f'(2) para f(x)=x2f(x) = x^{2} calculando el cociente incremental con h=0,1h = 0{,}1, h=0,01h = 0{,}01 y h=0,001h = 0{,}001.

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1. Escribimos el cociente que hay que evaluar. f(2+h)−f(2)h\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}, con f(2)=4f(2) = 4.

2. Calculamos con el primer hh. f(2,1)−40,1=4,1\dfrac{f(2{,}1) - 4}{0{,}1} = 4{,}1

3. Repetimos con los otros dos. Dan 4,014{,}01 y 4,0014{,}001.

4. Miramos hacia dónde van. Los valores se acercan a 44 a medida que hh se achica. La tabla sugiere el resultado; el límite exacto da f′(2)=4f'(2) = 4.

Respuesta: f′(2)=4f'(2) = 4

8. El caudal de un tanque es Q(t)=−5t2+40tQ(t) = - 5 t^{2} + 40 t litros a los tt minutos, y Q′(3)=10Q'(3) = 10. Interpretá el signo y las unidades de ese número.

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1. Recordamos qué mide la derivada. Es el cambio instantáneo: cuánto varía la función por unidad de la variable, justo en ese punto.

2. Escribimos las unidades. La función está en litros y la variable en minutos, así que Q′(3)Q'(3) está en litros por minuto.

3. Interpretamos el signo. Como 1010 es positivo, en ese instante el contenido está aumentando.

4. Aclaramos la diferencia con la tasa media. Es un valor instantáneo, no un promedio de un tramo: describe qué está pasando exactamente a los 33 minutos.

Respuesta: 1010 litros por minuto: el nivel está subiendo en ese instante

9. Calculá f′(2)f'(2) por definición para f(x)=2x2+5xf(x) = 2 x^{2} + 5 x.

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1. Escribimos el cociente incremental. f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)hf'(2) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}

2. Desarrollamos el numerador. f(2+h)=2h2+13h+18f(2 + h) = 2 h^{2} + 13 h + 18 y f(2)=18f(2) = 18, así que la resta da 2h2+13h2 h^{2} + 13 h.

3. Simplificamos la fracción. Sacamos hh de factor común y cancelamos: queda 2h+132 h + 13.

4. Tomamos el límite. Cuando h→0h \to 0 el término con hh desaparece y queda f′(2)=13f'(2) = 13.

Respuesta: f′(2)=13f'(2) = 13

10. Calculá f′(7)f'(7) por definición para f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}.

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1. Escribimos el cociente incremental. f(7+h)−f(7)h=17+h−17h\dfrac{f(7 + h) - f(7)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{7 + h} - \dfrac{1}{7}}{h}

2. Restamos las fracciones de arriba. 17+h−17=7−(7+h)7(7+h)=−h7(7+h)\dfrac{1}{7 + h} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{7 - (7 + h)}{7(7 + h)} = \dfrac{-h}{7(7 + h)}

3. Dividimos por hh. Queda −17(7+h)\dfrac{-1}{7(7 + h)}, ya sin la indeterminación.

4. Tomamos el límite. Con h→0h \to 0 el denominador tiende a 4949, así que f′(7)=−149f'(7) = - \dfrac{1}{49}.

Respuesta: f′(7)=−149f'(7) = - \dfrac{1}{49}

11. Estimá f′(2)f'(2) para f(x)=3x2f(x) = 3 x^{2} calculando el cociente incremental con h=0,1h = 0{,}1, h=0,01h = 0{,}01 y h=0,001h = 0{,}001.

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1. Escribimos el cociente que hay que evaluar. f(2+h)−f(2)h\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}, con f(2)=12f(2) = 12.

2. Calculamos con el primer hh. f(2,1)−120,1=12,3\dfrac{f(2{,}1) - 12}{0{,}1} = 12{,}3

3. Repetimos con los otros dos. Dan 12,0312{,}03 y 12,00312{,}003.

4. Miramos hacia dónde van. Los valores se acercan a 1212 a medida que hh se achica. La tabla sugiere el resultado; el límite exacto da f′(2)=12f'(2) = 12.

Respuesta: f′(2)=12f'(2) = 12

12. El caudal de un tanque es Q(t)=−3t2+15tQ(t) = - 3 t^{2} + 15 t litros a los tt minutos, y Q′(5)=−15Q'(5) = -15. Interpretá el signo y las unidades de ese número.

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1. Recordamos qué mide la derivada. Es el cambio instantáneo: cuánto varía la función por unidad de la variable, justo en ese punto.

2. Escribimos las unidades. La función está en litros y la variable en minutos, así que Q′(5)Q'(5) está en litros por minuto.

3. Interpretamos el signo. Como −15-15 es negativo, en ese instante el contenido está disminuyendo.

4. Aclaramos la diferencia con la tasa media. Es un valor instantáneo, no un promedio de un tramo: describe qué está pasando exactamente a los 55 minutos.

Respuesta: −15-15 litros por minuto: el nivel está bajando en ese instante

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