Ejercicios: De la secante a la tangente

pendiente de la secante

= [ f(a+h) - f(a) ] / h

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la pendiente y la ecuación de la recta secante a $f(x) = 2 x^{2}$ que pasa por los puntos de abscisas $0$ y $2$ .

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1. Calculamos los dos puntos. $(0, 0)$ y $(2, 8)$ .

2. Calculamos la pendiente. $m = \dfrac{8 - 0}{2 - (0)} = 4$ , que es la tasa de variación media en ese intervalo.

3. Armamos la ecuación con uno de los puntos. $y - 0 = 4(x + 0)$

4. Despejamos. $y = 4 x$ . Es la recta que corta al gráfico en los dos puntos, no la tangente.

Respuesta: pendiente $4$ y recta $y = 4 x$

2. Para $f(x) = 2 x^{2}$ , calculá la pendiente de la secante entre $x = 1$ y $x = 1 + h$ con $h = 1$ , $h = 0{,}5$ y $h = 0{,}1$ , y decidí hacia dónde van.

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1. Escribimos la pendiente de la secante. $m_{sec} = \dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h}$

2. Calculamos con $h = 1$ . $m_{sec} = 6$

3. Repetimos con los otros dos. Dan $5$ y $4{,}2$ .

4. Interpretamos la tendencia. A medida que el segundo punto se acerca al primero, la secante gira y su pendiente se acerca a $4$ : esa es la pendiente de la tangente en $x = 1$ .

Respuesta: tienden a $4$ , que es la pendiente de la tangente

3. Mostrá algebraicamente que la pendiente de las secantes a $f(x) = 2 x^{2}$ en $x = 3$ tiende a $12$ .

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1. Escribimos la pendiente de la secante. $\dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \dfrac{2 h^{2} + 12 h + 18 - 18}{h}$

2. Restamos y simplificamos el numerador. Queda $2 h^{2} + 12 h$ .

3. Sacamos $h$ de factor común y cancelamos. $\dfrac{h\left(2 h + 12\right)}{h} = 2 h + 12$

4. Hacemos tender $h$ a cero. El término con $h$ desaparece y queda $12$ : la secante se convierte en la tangente cuando los dos puntos se juntan.

Respuesta: la pendiente tiende a $12$

4. Para $f(x) = 3 x^{2}$ se sabe que $f'(2) = 12$ . Explicá qué significa geométricamente y compará con la pendiente de la secante entre $x = 2$ y $x = 4$ .

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1. Interpretamos la derivada. $12$ es la pendiente de la recta tangente al gráfico en el punto $(2, 12)$ .

2. Calculamos la pendiente de la secante. $\dfrac{f(4) - f(2)}{2} = \dfrac{48 - 12}{2} = 18$

3. Comparamos. La secante da $18$ y la tangente $12$ : la secante es más grande porque promedia un tramo donde la función se va empinando.

4. Sacamos la conclusión. La tangente describe la inclinación exacta en el punto; la secante, la inclinación promedio del tramo. Cuanto más corto el tramo, más se parecen.

Respuesta: $12$ es la pendiente de la tangente; la secante del tramo da $18$

5. Hallá la pendiente y la ecuación de la recta secante a $f(x) = x^{2}$ que pasa por los puntos de abscisas $1$ y $3$ .

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1. Calculamos los dos puntos. $(1, 1)$ y $(3, 9)$ .

2. Calculamos la pendiente. $m = \dfrac{9 - 1}{3 - (1)} = 4$ , que es la tasa de variación media en ese intervalo.

3. Armamos la ecuación con uno de los puntos. $y - 1 = 4(x - 1)$

4. Despejamos. $y = 4 x - 3$ . Es la recta que corta al gráfico en los dos puntos, no la tangente.

Respuesta: pendiente $4$ y recta $y = 4 x - 3$

6. Para $f(x) = x^{2}$ , calculá la pendiente de la secante entre $x = 4$ y $x = 4 + h$ con $h = 1$ , $h = 0{,}5$ y $h = 0{,}1$ , y decidí hacia dónde van.

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1. Escribimos la pendiente de la secante. $m_{sec} = \dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h}$

2. Calculamos con $h = 1$ . $m_{sec} = 9$

3. Repetimos con los otros dos. Dan $8{,}5$ y $8{,}1$ .

4. Interpretamos la tendencia. A medida que el segundo punto se acerca al primero, la secante gira y su pendiente se acerca a $8$ : esa es la pendiente de la tangente en $x = 4$ .

Respuesta: tienden a $8$ , que es la pendiente de la tangente

7. Mostrá algebraicamente que la pendiente de las secantes a $f(x) = 4 x^{2}$ en $x = 2$ tiende a $16$ .

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1. Escribimos la pendiente de la secante. $\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \dfrac{4 h^{2} + 16 h + 16 - 16}{h}$

2. Restamos y simplificamos el numerador. Queda $4 h^{2} + 16 h$ .

3. Sacamos $h$ de factor común y cancelamos. $\dfrac{h\left(4 h + 16\right)}{h} = 4 h + 16$

4. Hacemos tender $h$ a cero. El término con $h$ desaparece y queda $16$ : la secante se convierte en la tangente cuando los dos puntos se juntan.

Respuesta: la pendiente tiende a $16$

8. Para $f(x) = x^{2}$ se sabe que $f'(4) = 8$ . Explicá qué significa geométricamente y compará con la pendiente de la secante entre $x = 4$ y $x = 6$ .

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1. Interpretamos la derivada. $8$ es la pendiente de la recta tangente al gráfico en el punto $(4, 16)$ .

2. Calculamos la pendiente de la secante. $\dfrac{f(6) - f(4)}{2} = \dfrac{36 - 16}{2} = 10$

3. Comparamos. La secante da $10$ y la tangente $8$ : la secante es más grande porque promedia un tramo donde la función se va empinando.

4. Sacamos la conclusión. La tangente describe la inclinación exacta en el punto; la secante, la inclinación promedio del tramo. Cuanto más corto el tramo, más se parecen.

Respuesta: $8$ es la pendiente de la tangente; la secante del tramo da $10$

9. Hallá la pendiente y la ecuación de la recta secante a $f(x) = x^{2}$ que pasa por los puntos de abscisas $0$ y $3$ .

Ver solución

1. Calculamos los dos puntos. $(0, 0)$ y $(3, 9)$ .

2. Calculamos la pendiente. $m = \dfrac{9 - 0}{3 - (0)} = 3$ , que es la tasa de variación media en ese intervalo.

3. Armamos la ecuación con uno de los puntos. $y - 0 = 3(x + 0)$

4. Despejamos. $y = 3 x$ . Es la recta que corta al gráfico en los dos puntos, no la tangente.

Respuesta: pendiente $3$ y recta $y = 3 x$

10. Para $f(x) = x^{2}$ , calculá la pendiente de la secante entre $x = 3$ y $x = 3 + h$ con $h = 1$ , $h = 0{,}5$ y $h = 0{,}1$ , y decidí hacia dónde van.

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1. Escribimos la pendiente de la secante. $m_{sec} = \dfrac{f(3 + h) - f(3)}{h}$

2. Calculamos con $h = 1$ . $m_{sec} = 7$

3. Repetimos con los otros dos. Dan $6{,}5$ y $6{,}1$ .

4. Interpretamos la tendencia. A medida que el segundo punto se acerca al primero, la secante gira y su pendiente se acerca a $6$ : esa es la pendiente de la tangente en $x = 3$ .

Respuesta: tienden a $6$ , que es la pendiente de la tangente

11. Mostrá algebraicamente que la pendiente de las secantes a $f(x) = x^{2}$ en $x = 5$ tiende a $10$ .

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1. Escribimos la pendiente de la secante. $\dfrac{f(5 + h) - f(5)}{h} = \dfrac{h^{2} + 10 h + 25 - 25}{h}$

2. Restamos y simplificamos el numerador. Queda $h^{2} + 10 h$ .

3. Sacamos $h$ de factor común y cancelamos. $\dfrac{h\left(h + 10\right)}{h} = h + 10$

4. Hacemos tender $h$ a cero. El término con $h$ desaparece y queda $10$ : la secante se convierte en la tangente cuando los dos puntos se juntan.

Respuesta: la pendiente tiende a $10$

12. Para $f(x) = 4 x^{2}$ se sabe que $f'(1) = 8$ . Explicá qué significa geométricamente y compará con la pendiente de la secante entre $x = 1$ y $x = 3$ .

Ver solución

1. Interpretamos la derivada. $8$ es la pendiente de la recta tangente al gráfico en el punto $(1, 4)$ .

2. Calculamos la pendiente de la secante. $\dfrac{f(3) - f(1)}{2} = \dfrac{36 - 4}{2} = 16$

3. Comparamos. La secante da $16$ y la tangente $8$ : la secante es más grande porque promedia un tramo donde la función se va empinando.

4. Sacamos la conclusión. La tangente describe la inclinación exacta en el punto; la secante, la inclinación promedio del tramo. Cuanto más corto el tramo, más se parecen.

Respuesta: $8$ es la pendiente de la tangente; la secante del tramo da $16$

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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