De la secante a la tangente

Esta es la interpretación geométrica de la derivada y explica por qué el tema se estudia con gráficos.

La tasa media entre dos puntos es la pendiente de la secante que los une. Si uno de los puntos se deja fijo y el otro se acerca, la secante va girando. Cuando el segundo punto está prácticamente encima del primero, la secante se convierte en la tangente.

Entonces la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente al gráfico en ese punto. Ese es el resultado central de toda la unidad.

Es lo que permite leer la derivada de un dibujo sin hacer cuentas. Donde la curva sube empinada la derivada es grande, donde sube suave es chica, donde está plana es cero y donde baja es negativa.

También explica por qué hay puntos sin derivada: si la curva tiene un pico, no hay una única recta tangente ahí, porque cada lado apunta para un lado distinto.

pendiente de la secante

= [ f(a+h) - f(a) ] / h

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da un gráfico y pregunta por el signo o el valor aproximado de la derivada en algún punto. También cuando pide relacionar el gráfico de una función con el de su derivada.

Ejemplo 1

Calcular la pendiente de la secante a $f(x) = x^{2}$ entre $x = 1$ y $x = 3$ .

Buscamos los dos valores de la función. $f(1) = 1$ y $f(3) = 9$ .
Calculamos cuánto subió. $9 - 1 = 8$
Calculamos cuánto avanzamos. $3 - 1 = 2$
Dividimos subida por avance. $8 \div 2 = 4$
Respuesta: la secante tiene pendiente $4$

Ejemplo 2

Achicar el tramo del ejemplo anterior y ver a qué valor se acerca la pendiente.

Repetimos la cuenta con tramos cada vez más chicos, siempre arrancando en $x = 1$ .
Hasta $3$ : pendiente $4$ . Hasta $2$ : $(4 - 1) \div 1 = 3$ . Hasta $1{,}5$ : $(2{,}25 - 1) \div 0{,}5 = 2{,}5$ .
Hasta $1{,}1$ : $(1{,}21 - 1) \div 0{,}1 = 2{,}1$ . Los resultados se están acercando a $2$ .
Ese número al que se acercan es la derivada. Como $f'(x) = 2x$ , en $x = 1$ da $2$ . Coincide.
Respuesta: la pendiente tiende a $2$ , que es $f'(1)$

Error típico

Creer que la tangente toca la curva en un solo punto y nunca más. Puede volver a cortarla en otro lado sin dejar de ser tangente en $P$ : lo que la define es la pendiente ahí, no la cantidad de cortes.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .