Exponenciales y logaritmos

La exponencial de base e es la única función que es su propia derivada. Eso la vuelve la más cómoda de todas y es la razón por la que esa base aparece en todos lados.

Para otras bases aparece un factor extra, que es el logaritmo natural de la base. Cuando la base es e ese factor vale uno y desaparece, lo que explica el caso anterior.

La derivada del logaritmo natural es uno sobre la variable. Es un resultado que sorprende, porque una función logarítmica deriva en una racional, pero es de los más usados.

Para logaritmos de otras bases aparece el mismo factor de conversión, ahora dividiendo.

Conviene tener presente el dominio. La derivada del logaritmo natural existe solo donde el logaritmo existe, o sea para valores positivos, aunque la expresión de la derivada tenga sentido también para negativos.

Estas dos derivadas casi nunca aparecen solas: casi siempre vienen combinadas con la regla de la cadena, porque adentro del exponente o del logaritmo hay otra función.

( e^{x} ) ' = e^{x} ( \ln x ) ' = 1 / x

Cuándo se usa

Cuando aparece una exponencial o un logaritmo. Si adentro hay algo más que la variable sola, va la regla de la cadena. Convertir todo a base e antes de derivar suele simplificar la cuenta.

Ejemplo 1

Derivar $f(x) = 3e^{x} + 5 \ln x$ .

Separamos en términos. Las constantes que multiplican salen afuera y quedan intactas.
Derivamos el primero. La derivada de $e^{x}$ es $e^{x}$ , así que queda $3e^{x}$ .
Derivamos el segundo. La derivada de $\ln x$ es $1/x$ , así que queda $5 \cdot (1/x) = 5/x$ .
Unimos. $3e^{x} + 5/x$
Respuesta: $f'(x) = 3e^{x} + 5/x$

Ejemplo 2

Hallar la recta tangente a $f(x) = e^{x}$ en $x = 0$ .

Calculamos el punto. $f(0) = e^{0} = 1$ , así que el punto es $(0, 1)$ .
Derivamos. $f'(x) = e^{x}$
Evaluamos la derivada en cero. $f'(0) = e^{0} = 1$ . La pendiente es $1$ .
Armamos la recta. $y - 1 = 1 (x)$
Respuesta: $y = x + 1$

Error típico

Aplicarle la regla de la potencia a la exponencial. En $x^{3}$ la variable está abajo y el número arriba; en $3^{x}$ es al revés. La regla de la potencia solo sirve cuando la que está abajo es la $x$ .

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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