La regla del cociente

Para derivar una división de dos funciones hay una regla propia, y tiene tres cosas que conviene memorizar con cuidado.

En el numerador va la derivada del de arriba por el de abajo, menos el de arriba por la derivada del de abajo. En el denominador va el de abajo elevado al cuadrado.

El signo menos es lo que hace que el orden importe, a diferencia de la regla del producto. Invertir los dos términos del numerador da el resultado con el signo cambiado.

El denominador al cuadrado se olvida seguido, sobre todo cuando el de abajo es simple.

Conviene evaluar si hace falta usarla. Si el denominador es una constante, alcanza con sacarla afuera. Si el numerador es una constante, se puede subir el denominador con exponente negativo y usar la regla de la cadena, que suele salir más limpio.

Y casi siempre conviene simplificar el resultado. La expresión que sale de aplicar la regla suele tener factores comunes que se cancelan, y dejarla sin simplificar complica todo lo que venga después.

( f / g ) ' = ( f' \cdot g - f \cdot g' ) / g^{2}

Cuándo se usa

Cuando hay una división de dos funciones que dependen de la variable. Si el denominador es una constante, sacala afuera. Si el numerador es una constante, conviene subir el denominador con exponente negativo.

Ejemplo 1

Derivar $f(x) = (2x + 1) / (x - 3)$ .

Identificamos numerador y denominador. $f = 2x + 1$ y $g = x - 3$ .
Derivamos cada uno. $f' = 2$ y $g' = 1$ .
Armamos el numerador, arrancando por la derivada de arriba. $2 \cdot (x - 3) - (2x + 1) \cdot 1$
Desarrollamos con cuidado con el signo. $2x - 6 - 2x - 1 = -7$ . El menos afecta a los dos términos del paréntesis.
Armamos la fracción completa. $-7 / (x - 3)^{2}$
Respuesta: $f'(x) = -7 / (x - 3)^{2}$

Ejemplo 2

Derivar $f(x) = \operatorname{sen} x / x$ .

Identificamos las partes. $f = \operatorname{sen} x$ y $g = x$ .
Derivamos. $f' = \cos x$ y $g' = 1$ .
Armamos el numerador. $\cos x \cdot x - \operatorname{sen} x \cdot 1$
Armamos la fracción. $(x \cos x - \operatorname{sen} x) / x^{2}$
Respuesta: $f'(x) = (x \cos x - \operatorname{sen} x) / x^{2}$

Error típico

Elevar al cuadrado el numerador en vez del denominador, o derivar el denominador antes de elevarlo. Abajo va $g^{2}$ con la $g$ original, sin tocar.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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