Derivada de la función inversa

Cuando una función tiene inversa, hay una relación directa entre las derivadas de las dos, y sirve para derivar la inversa sin tener que despejarla.

La regla es que la derivada de la inversa en un punto es el inverso de la derivada de la función original, pero evaluada en el punto que le corresponde. Ese detalle de dónde evaluar es lo que más se equivoca: no se evalúa en el mismo número.

La razón se ve en el gráfico. La inversa es la original reflejada respecto de la recta que hace de espejo, y esa reflexión intercambia los ejes. Una pendiente empinada se convierte en una suave, y al revés: por eso aparece el inverso.

Hay una condición. Si la derivada original vale cero en el punto correspondiente, la fórmula no se aplica, porque habría que dividir por cero. Geométricamente eso significa que la tangente era horizontal y al reflejarla queda vertical.

Este resultado es el que permite deducir la derivada del logaritmo a partir de la exponencial, y las de las trigonométricas inversas a partir del seno y el coseno.

(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}, \quad \text{donde } f(a) = b

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la derivada de una inversa que no se puede despejar, o da datos sueltos del tipo la función vale tanto y su derivada tanto. Fijate bien en qué punto hay que evaluar.

Ejemplo 1

Si $f(x) = x^{3}$ , hallar la derivada de su inversa en el punto $8$ .

Buscamos qué punto va a parar a $8$ . Como $2^{3} = 8$ , ese punto es $a = 2$ .
Calculamos la derivada de $f$ . Es $3x^{2}$ .
Evaluamos en $a$ . Da $3 \cdot 4 = 12$ .
Tomamos el inverso.
Respuesta: $\frac{1}{12}$

Ejemplo 2

Si $f(x) = e^{x}$ , deducir la derivada de su inversa en un punto $b$ positivo.

Identificamos la inversa. Es el logaritmo natural.
Buscamos el punto correspondiente. Es $a = \ln b$ .
Calculamos la derivada de $f$ y la evaluamos ahí. Da $e^{\ln b} = b$ .
Tomamos el inverso.
Respuesta: $\frac{1}{b}$ , que es la derivada conocida del logaritmo

Error típico

Evaluar $f'$ en el mismo punto donde se pide la derivada de la inversa. Hay que evaluarla en el punto que la función manda ahí.

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Otros subtemas de Derivadas

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