Ejercicios: Derivada de la función inversa

(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}, \quad \text{donde } f(a) = b

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Sea $f(x) = x^{3} + 7 x$ , que es inversible. Calculá $(f^{-1})'(8)$ .

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1. Ubicamos el punto que corresponde. Buscamos $a$ con $f(a) = 8$ : probando, $f(1) = 8$ , así que $a = 1$ .

2. Derivamos la función original. $f'(x) = 3 x^{2} + 7$

3. Evaluamos en ese punto. $f'(1) = 10$

4. Aplicamos la fórmula. $(f^{-1})'(8) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{10}$ . Lo importante es evaluar en $1$ y no en $8$ .

Respuesta: $(f^{-1})'(8) = \dfrac{1}{10}$

2. Usando que $f(x) = e^{x}$ tiene inversa $\ln x$ , calculá $(\ln)'(7)$ con la fórmula de la derivada de la inversa.

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1. Ubicamos el punto correspondiente. Buscamos $a$ con $e^{a} = 7$ , o sea $a = \ln 7$ .

2. Derivamos la original. $f'(x) = e^{x}$

3. Evaluamos en ese punto. $f'(\ln 7) = e^{\ln 7} = 7$

4. Aplicamos la fórmula. $(\ln)'(7) = \dfrac{1}{7}$ , que coincide con la derivada conocida del logaritmo evaluada ahí.

Respuesta: $(\ln)'(7) = \dfrac{1}{7}$

3. Para $f(x) = x^{3}$ , calculá $(f^{-1})'(8)$ y mostrá por qué no vale usar $\dfrac{1}{f'(8)}$ .

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1. Ubicamos el punto correcto. $(f^{-1})'(8) = \dfrac{1}{f'(a)}$ con $f(a) = 8$ , o sea $a = 2$ .

2. Calculamos bien. $f'(x) = 3x^{2}$ , así que $f'(2) = 12$ y el resultado es $\dfrac{1}{12}$ .

3. Calculamos lo que da la cuenta equivocada. $\dfrac{1}{f'(8)} = \dfrac{1}{192}$ , un número muchísimo más chico.

4. Verificamos con la fórmula explícita. $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ , cuya derivada en $8$ es $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{8}^{2}} = \dfrac{1}{12}$ : coincide con la primera cuenta.

Respuesta: $(f^{-1})'(8) = \dfrac{1}{12}$

4. Verificá la fórmula de la derivada de la inversa con $f(x) = 5 x + 2$ en el punto $7$ .

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1. Aplicamos la fórmula. $f(1) = 7$ y $f'(x) = 5$ , así que $(f^{-1})'(7) = \dfrac{1}{5}$ .

2. Calculamos la inversa explícitamente. Despejando de $y = 5 x + 2$ queda $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 2}{5}$ .

3. Derivamos esa expresión. $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{5}$ , constante.

4. Comparamos. Los dos caminos dan $\dfrac{1}{5}$ . En una recta la inversa también es una recta, con pendiente inversa: por eso el resultado no depende del punto.

Respuesta: las dos formas dan $\dfrac{1}{5}$

5. Sea $f(x) = x^{3} + 4 x$ , que es inversible. Calculá $(f^{-1})'(16)$ .

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1. Ubicamos el punto que corresponde. Buscamos $a$ con $f(a) = 16$ : probando, $f(2) = 16$ , así que $a = 2$ .

2. Derivamos la función original. $f'(x) = 3 x^{2} + 4$

3. Evaluamos en ese punto. $f'(2) = 16$

4. Aplicamos la fórmula. $(f^{-1})'(16) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac{1}{16}$ . Lo importante es evaluar en $2$ y no en $16$ .

Respuesta: $(f^{-1})'(16) = \dfrac{1}{16}$

6. Usando que $f(x) = e^{x}$ tiene inversa $\ln x$ , calculá $(\ln)'(4)$ con la fórmula de la derivada de la inversa.

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1. Ubicamos el punto correspondiente. Buscamos $a$ con $e^{a} = 4$ , o sea $a = \ln 4$ .

2. Derivamos la original. $f'(x) = e^{x}$

3. Evaluamos en ese punto. $f'(\ln 4) = e^{\ln 4} = 4$

4. Aplicamos la fórmula. $(\ln)'(4) = \dfrac{1}{4}$ , que coincide con la derivada conocida del logaritmo evaluada ahí.

Respuesta: $(\ln)'(4) = \dfrac{1}{4}$

7. Para $f(x) = x^{3}$ , calculá $(f^{-1})'(64)$ y mostrá por qué no vale usar $\dfrac{1}{f'(64)}$ .

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1. Ubicamos el punto correcto. $(f^{-1})'(64) = \dfrac{1}{f'(a)}$ con $f(a) = 64$ , o sea $a = 4$ .

2. Calculamos bien. $f'(x) = 3x^{2}$ , así que $f'(4) = 48$ y el resultado es $\dfrac{1}{48}$ .

3. Calculamos lo que da la cuenta equivocada. $\dfrac{1}{f'(64)} = \dfrac{1}{12288}$ , un número muchísimo más chico.

4. Verificamos con la fórmula explícita. $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ , cuya derivada en $64$ es $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{64}^{2}} = \dfrac{1}{48}$ : coincide con la primera cuenta.

Respuesta: $(f^{-1})'(64) = \dfrac{1}{48}$

8. Verificá la fórmula de la derivada de la inversa con $f(x) = 7 x + 4$ en el punto $11$ .

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1. Aplicamos la fórmula. $f(1) = 11$ y $f'(x) = 7$ , así que $(f^{-1})'(11) = \dfrac{1}{7}$ .

2. Calculamos la inversa explícitamente. Despejando de $y = 7 x + 4$ queda $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 4}{7}$ .

3. Derivamos esa expresión. $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{7}$ , constante.

4. Comparamos. Los dos caminos dan $\dfrac{1}{7}$ . En una recta la inversa también es una recta, con pendiente inversa: por eso el resultado no depende del punto.

Respuesta: las dos formas dan $\dfrac{1}{7}$

9. Sea $f(x) = x^{3} + 5 x$ , que es inversible. Calculá $(f^{-1})'(18)$ .

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1. Ubicamos el punto que corresponde. Buscamos $a$ con $f(a) = 18$ : probando, $f(2) = 18$ , así que $a = 2$ .

2. Derivamos la función original. $f'(x) = 3 x^{2} + 5$

3. Evaluamos en ese punto. $f'(2) = 17$

4. Aplicamos la fórmula. $(f^{-1})'(18) = \dfrac{1}{f'(2)} = \dfrac{1}{17}$ . Lo importante es evaluar en $2$ y no en $18$ .

Respuesta: $(f^{-1})'(18) = \dfrac{1}{17}$

10. Usando que $f(x) = e^{x}$ tiene inversa $\ln x$ , calculá $(\ln)'(3)$ con la fórmula de la derivada de la inversa.

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1. Ubicamos el punto correspondiente. Buscamos $a$ con $e^{a} = 3$ , o sea $a = \ln 3$ .

2. Derivamos la original. $f'(x) = e^{x}$

3. Evaluamos en ese punto. $f'(\ln 3) = e^{\ln 3} = 3$

4. Aplicamos la fórmula. $(\ln)'(3) = \dfrac{1}{3}$ , que coincide con la derivada conocida del logaritmo evaluada ahí.

Respuesta: $(\ln)'(3) = \dfrac{1}{3}$

11. Para $f(x) = x^{3}$ , calculá $(f^{-1})'(343)$ y mostrá por qué no vale usar $\dfrac{1}{f'(343)}$ .

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1. Ubicamos el punto correcto. $(f^{-1})'(343) = \dfrac{1}{f'(a)}$ con $f(a) = 343$ , o sea $a = 7$ .

2. Calculamos bien. $f'(x) = 3x^{2}$ , así que $f'(7) = 147$ y el resultado es $\dfrac{1}{147}$ .

3. Calculamos lo que da la cuenta equivocada. $\dfrac{1}{f'(343)} = \dfrac{1}{352947}$ , un número muchísimo más chico.

4. Verificamos con la fórmula explícita. $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ , cuya derivada en $343$ es $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{343}^{2}} = \dfrac{1}{147}$ : coincide con la primera cuenta.

Respuesta: $(f^{-1})'(343) = \dfrac{1}{147}$

12. Verificá la fórmula de la derivada de la inversa con $f(x) = 6 x + 1$ en el punto $7$ .

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1. Aplicamos la fórmula. $f(1) = 7$ y $f'(x) = 6$ , así que $(f^{-1})'(7) = \dfrac{1}{6}$ .

2. Calculamos la inversa explícitamente. Despejando de $y = 6 x + 1$ queda $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 1}{6}$ .

3. Derivamos esa expresión. $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{6}$ , constante.

4. Comparamos. Los dos caminos dan $\dfrac{1}{6}$ . En una recta la inversa también es una recta, con pendiente inversa: por eso el resultado no depende del punto.

Respuesta: las dos formas dan $\dfrac{1}{6}$

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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