Ejercicios: Aproximación lineal

f(x) \approx f(a) + f'(a) \cdot (x - a)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Estimá $\sqrt{5}$ con la aproximación lineal de $f(x) = \sqrt{x}$ en $x = 4$ .

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1. Elegimos el punto de apoyo. Conviene $4$ , que está cerca de $5$ y tiene raíz exacta: $f(4) = 2$ .

2. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , así que $f'(4) = \dfrac{1}{4}$ .

3. Escribimos la fórmula. $f(x) \approx f(4) + f'(4)(x - 4) = 2 + \dfrac{1}{4}(x - 4)$

4. Evaluamos en el valor buscado. $\sqrt{5} \approx 2 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{4} = 2{,}25$ , contra el valor real $2{,}2361$ .

Respuesta: $\sqrt{5} \approx 2{,}25$

2. Estimá $(1{,}01)^{6}$ con la aproximación lineal de $f(x) = (1 + x)^{6}$ en $x = 0$ .

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1. Evaluamos la función en el punto de apoyo. $f(0) = 1$

2. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = 6(1 + x)^{5}$ , así que $f'(0) = 6$ .

3. Escribimos la aproximación. $f(x) \approx 1 + 6x$ para $x$ cerca de cero.

4. Reemplazamos. Con $x = 0{,}01$ queda $1{,}06$ , contra el valor real $1{,}0615$ : el error aparece recién en los decimales de más atrás.

Respuesta: $(1{,}01)^{6} \approx 1{,}06$

3. Estimá $\sqrt{6}$ con la recta tangente en $x = 4$ y calculá el error cometido.

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1. Armamos la aproximación. $f(4) = 2$ y $f'(4) = \dfrac{1}{4}$ , así que $\sqrt{x} \approx 2 + \dfrac{1}{4}(x - 4)$ .

2. Evaluamos. Con $x = 6$ : $\sqrt{6} \approx 2 + \dfrac{1}{2} = 2{,}5$ .

3. Comparamos con el valor real. $\sqrt{6} \approx 2{,}4495$

4. Calculamos el error. $|2{,}5 - 2{,}4495| \approx 0{,}0505$ . La recta queda apenas por encima de la curva, porque la raíz es cóncava hacia abajo.

Respuesta: $\sqrt{6} \approx 2{,}5$ , con error de aproximadamente $0{,}0505$

4. Estimá $\ln(1 + 0{,}02)$ con la aproximación lineal de $f(x) = \ln(1 + x)$ en $x = 0$ .

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1. Evaluamos en el punto de apoyo. $f(0) = \ln 1 = 0$

2. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = \dfrac{1}{1 + x}$ , así que $f'(0) = 1$ .

3. Escribimos la aproximación. $\ln(1 + x) \approx 0 + 1 \cdot x = x$ para $x$ cerca de cero.

4. Reemplazamos y comparamos. $\ln(1 + 0{,}02) \approx 0{,}02$ , contra el valor real $0{,}0198$ .

Respuesta: $\ln(1 + 0{,}02) \approx 0{,}02$

5. Estimá $\sqrt{26}$ con la aproximación lineal de $f(x) = \sqrt{x}$ en $x = 25$ .

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1. Elegimos el punto de apoyo. Conviene $25$ , que está cerca de $26$ y tiene raíz exacta: $f(25) = 5$ .

2. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , así que $f'(25) = \dfrac{1}{10}$ .

3. Escribimos la fórmula. $f(x) \approx f(25) + f'(25)(x - 25) = 5 + \dfrac{1}{10}(x - 25)$

4. Evaluamos en el valor buscado. $\sqrt{26} \approx 5 + \dfrac{1}{10} = \dfrac{51}{10} = 5{,}1$ , contra el valor real $5{,}099$ .

Respuesta: $\sqrt{26} \approx 5{,}1$

6. Estimá $(1{,}01)^{7}$ con la aproximación lineal de $f(x) = (1 + x)^{7}$ en $x = 0$ .

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1. Evaluamos la función en el punto de apoyo. $f(0) = 1$

2. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = 7(1 + x)^{6}$ , así que $f'(0) = 7$ .

3. Escribimos la aproximación. $f(x) \approx 1 + 7x$ para $x$ cerca de cero.

4. Reemplazamos. Con $x = 0{,}01$ queda $1{,}07$ , contra el valor real $1{,}0721$ : el error aparece recién en los decimales de más atrás.

Respuesta: $(1{,}01)^{7} \approx 1{,}07$

7. Estimá $\sqrt{27}$ con la recta tangente en $x = 25$ y calculá el error cometido.

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1. Armamos la aproximación. $f(25) = 5$ y $f'(25) = \dfrac{1}{10}$ , así que $\sqrt{x} \approx 5 + \dfrac{1}{10}(x - 25)$ .

2. Evaluamos. Con $x = 27$ : $\sqrt{27} \approx 5 + \dfrac{1}{5} = 5{,}2$ .

3. Comparamos con el valor real. $\sqrt{27} \approx 5{,}1962$

4. Calculamos el error. $|5{,}2 - 5{,}1962| \approx 0{,}0038$ . La recta queda apenas por encima de la curva, porque la raíz es cóncava hacia abajo.

Respuesta: $\sqrt{27} \approx 5{,}2$ , con error de aproximadamente $0{,}0038$

8. Estimá $\ln(1 + 0{,}09)$ con la aproximación lineal de $f(x) = \ln(1 + x)$ en $x = 0$ .

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1. Evaluamos en el punto de apoyo. $f(0) = \ln 1 = 0$

2. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = \dfrac{1}{1 + x}$ , así que $f'(0) = 1$ .

3. Escribimos la aproximación. $\ln(1 + x) \approx 0 + 1 \cdot x = x$ para $x$ cerca de cero.

4. Reemplazamos y comparamos. $\ln(1 + 0{,}09) \approx 0{,}09$ , contra el valor real $0{,}0862$ .

Respuesta: $\ln(1 + 0{,}09) \approx 0{,}09$

9. Estimá $\sqrt{17}$ con la aproximación lineal de $f(x) = \sqrt{x}$ en $x = 16$ .

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1. Elegimos el punto de apoyo. Conviene $16$ , que está cerca de $17$ y tiene raíz exacta: $f(16) = 4$ .

2. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , así que $f'(16) = \dfrac{1}{8}$ .

3. Escribimos la fórmula. $f(x) \approx f(16) + f'(16)(x - 16) = 4 + \dfrac{1}{8}(x - 16)$

4. Evaluamos en el valor buscado. $\sqrt{17} \approx 4 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{33}{8} = 4{,}125$ , contra el valor real $4{,}1231$ .

Respuesta: $\sqrt{17} \approx 4{,}125$

10. Estimá $(1{,}01)^{3}$ con la aproximación lineal de $f(x) = (1 + x)^{3}$ en $x = 0$ .

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1. Evaluamos la función en el punto de apoyo. $f(0) = 1$

2. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = 3(1 + x)^{2}$ , así que $f'(0) = 3$ .

3. Escribimos la aproximación. $f(x) \approx 1 + 3x$ para $x$ cerca de cero.

4. Reemplazamos. Con $x = 0{,}01$ queda $1{,}03$ , contra el valor real $1{,}0303$ : el error aparece recién en los decimales de más atrás.

Respuesta: $(1{,}01)^{3} \approx 1{,}03$

11. Estimá $\sqrt{18}$ con la recta tangente en $x = 16$ y calculá el error cometido.

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1. Armamos la aproximación. $f(16) = 4$ y $f'(16) = \dfrac{1}{8}$ , así que $\sqrt{x} \approx 4 + \dfrac{1}{8}(x - 16)$ .

2. Evaluamos. Con $x = 18$ : $\sqrt{18} \approx 4 + \dfrac{1}{4} = 4{,}25$ .

3. Comparamos con el valor real. $\sqrt{18} \approx 4{,}2426$

4. Calculamos el error. $|4{,}25 - 4{,}2426| \approx 0{,}0074$ . La recta queda apenas por encima de la curva, porque la raíz es cóncava hacia abajo.

Respuesta: $\sqrt{18} \approx 4{,}25$ , con error de aproximadamente $0{,}0074$

12. Estimá $\ln(1 + 0{,}03)$ con la aproximación lineal de $f(x) = \ln(1 + x)$ en $x = 0$ .

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1. Evaluamos en el punto de apoyo. $f(0) = \ln 1 = 0$

2. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = \dfrac{1}{1 + x}$ , así que $f'(0) = 1$ .

3. Escribimos la aproximación. $\ln(1 + x) \approx 0 + 1 \cdot x = x$ para $x$ cerca de cero.

4. Reemplazamos y comparamos. $\ln(1 + 0{,}03) \approx 0{,}03$ , contra el valor real $0{,}0296$ .

Respuesta: $\ln(1 + 0{,}03) \approx 0{,}03$

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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