La regla de la cadena

La regla de la cadena sirve para derivar funciones compuestas, o sea cuando adentro de una función hay otra. Es la regla más importante de la unidad porque casi todos los ejercicios reales la usan.

Lo que dice es que se deriva la de afuera dejando lo de adentro tal como está, y después se multiplica por la derivada de lo de adentro.

El paso que se olvida es el último. Derivar solo la de afuera es el error clásico del tema, y pasa desapercibido porque el resultado parece razonable.

El primer trabajo es reconocer que hay composición. La pista es que adentro de un paréntesis, de una raíz, de un exponente o de una función trigonométrica hay algo más que la variable sola.

Cuando hay tres funciones anidadas la regla se aplica varias veces, y quedan tantos factores como niveles haya. Conviene identificar las capas de afuera hacia adentro antes de empezar a escribir.

La derivada de lo de adentro se llama factor de corrección, y es lo que ajusta por el ritmo al que cambia la función interior.

[ f(g(x)) ] ' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Cuándo se usa

Cuando adentro de una función hay algo más que la variable sola: un paréntesis elevado, una raíz con una expresión adentro, un exponente compuesto. Derivá de afuera hacia adentro y no te olvides de multiplicar por la derivada de lo de adentro.

Ejemplo 1

Derivar $f(x) = (x^{2} + 3)^{4}$ .

Identificamos las dos partes. Afuera: elevar a la cuarta. Adentro: $x^{2} + 3$ .
Derivamos la de afuera y dejamos lo de adentro quieto. $4(x^{2} + 3)^{3}$
Derivamos lo de adentro. La derivada de $x^{2} + 3$ es $2x$ .
Multiplicamos las dos cosas. $4(x^{2} + 3)^{3} \cdot 2x$
Acomodamos los números adelante. $8x(x^{2} + 3)^{3}$
Respuesta: $f'(x) = 8x(x^{2} + 3)^{3}$

Ejemplo 2

Derivar $f(x) = e^(3x^{2})$ .

Identificamos las partes. Afuera: la exponencial. Adentro: $3x^{2}$ .
Derivamos la exponencial dejando lo de adentro quieto. La derivada de $eu$ es $eu$ , así que queda $e^(3x^{2})$ .
Derivamos lo de adentro. La derivada de $3x^{2}$ es $6x$ .
Multiplicamos. $e^(3x^{2}) \cdot 6x$
Respuesta: $f'(x) = 6x e^(3x^{2})$

Error típico

Derivar $(3x + 1)^{5}$ y contestar $5(3x + 1)^{4}$ . Falta multiplicar por $3$ , que es la derivada de lo de adentro. El truco para no olvidarse: si adentro hay algo más que una $x$ sola, siempre sobra un factor.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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