Recta tangente y recta normal

La recta tangente en un punto es la que toca el gráfico ahí y tiene la misma inclinación. Su pendiente es la derivada en ese punto.

Para escribirla hacen falta dos datos: un punto por donde pasa y su pendiente. El punto sale de evaluar la función y la pendiente de evaluar la derivada, los dos en la misma abscisa. Con eso se arma la ecuación.

El orden de los pasos siempre es el mismo: derivar, evaluar la derivada para tener la pendiente, evaluar la función para tener el punto, y armar la recta.

La recta normal es la perpendicular a la tangente en ese mismo punto. Su pendiente es el inverso cambiado de signo de la pendiente de la tangente.

Hay dos casos especiales. Si la derivada vale cero, la tangente es horizontal y la normal vertical. Y si la tangente es vertical, no tiene pendiente definida y la normal es horizontal.

Un error frecuente es evaluar la función donde había que evaluar la derivada. Son dos cuentas distintas que se hacen en el mismo punto y conviene no mezclarlas.

y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la tangente o la normal en un punto. Derivá, evaluá la derivada para la pendiente y la función para el punto. Para la normal, invertí la pendiente y cambiale el signo.

Ejemplo 1

Hallar la recta tangente a $f(x) = x^{3}$ en $a = 2$ .

Calculamos el punto de tangencia. $f(2) = 8$ , así que el punto es $(2, 8)$ .
Derivamos la función. $f'(x) = 3x^{2}$
Evaluamos la derivada en el punto. $f'(2) = 3 \cdot 4 = 12$ . Esa es la pendiente.
Reemplazamos en la ecuación. $y - 8 = 12 (x - 2)$
Despejamos. $y = 12x - 24 + 8$
Respuesta: $y = 12x - 16$

Ejemplo 2

Hallar la recta normal a $f(x) = x^{2}$ en $a = 1$ .

Buscamos el punto y la pendiente de la tangente. $f(1) = 1$ y $f'(x) = 2x$ , así que $f'(1) = 2$ .
Damos vuelta la fracción y cambiamos el signo. La pendiente de la normal es $-1/2$ .
Armamos la recta con ese punto y esa pendiente. $y - 1 = -1/2 (x - 1)$
Despejamos. $y = -x/2 + 1/2 + 1$
Respuesta: $y = -x/2 + 3/2$

Error típico

Escribir la ecuación de la tangente usando $f'(x)$ sin evaluar. La pendiente tiene que ser un número, no una expresión con $x$ adentro. Primero se deriva, después se reemplaza el punto, y recién entonces se arma la recta.

Practicar

← De la secante a la tangente Dónde una función no tiene derivada →

Otros subtemas de Derivadas

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .