Ejercicios: Recta tangente y recta normal

y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la recta tangente a $f(x) = x^{2} + 2 x$ en $x = 1$ .

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1. Derivamos. $f'(x) = 2 x + 2$

2. Evaluamos la derivada para tener la pendiente. $f'(1) = 4$

3. Evaluamos la función para tener el punto. $f(1) = 3$ , así que la tangente pasa por $(1, 3)$ .

4. Armamos la recta. $y - 3 = 4(x - 1)$ , o sea $y = 4 x - 1$ .

Respuesta: $y = 4 x - 1$

2. Hallá la recta normal a $f(x) = x^{2}$ en $x = 2$ .

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1. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = 2 x$ , así que $f'(2) = 4$ .

2. Pasamos a la pendiente de la normal. La normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es $-\dfrac{1}{4}$ .

3. Buscamos el punto. $f(2) = 4$ , o sea $(2, 4)$ .

4. Armamos la recta. $y - 4 = - \dfrac{1}{4}(x - 2)$ , o sea $y = \dfrac{9}{2} - \dfrac{x}{4}$ .

Respuesta: $y = \dfrac{9}{2} - \dfrac{x}{4}$

3. Hallá el punto de $f(x) = x^{2} - 3 x$ donde la recta tangente tiene pendiente $5$ .

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1. Derivamos. $f'(x) = 2 x - 3$

2. Planteamos la condición. La pendiente de la tangente es la derivada, así que pedimos $2 x - 3 = 5$ .

3. Despejamos. $x = 4$

4. Calculamos la altura. $f(4) = 4$ , así que el punto es $(4, 4)$ .

Respuesta: el punto es $(4, 4)$

4. Hallá los puntos de $f(x) = 2 x^{2} + 4 x + 1$ donde la tangente es horizontal.

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1. Traducimos la condición geométrica. Una recta horizontal tiene pendiente cero, así que hay que pedir $f'(x) = 0$ .

2. Derivamos. $f'(x) = 4 x + 4$

3. Resolvemos. $4 x + 4 = 0$ da $x = -1$ .

4. Calculamos el punto y lo interpretamos. $f(-1) = -1$ , así que el punto es $(-1, -1)$ : es el vértice de la parábola, donde deja de subir o de bajar.

Respuesta: solo $(-1, -1)$

5. Hallá la recta tangente a $f(x) = 2 x^{2} + 4 x$ en $x = 0$ .

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1. Derivamos. $f'(x) = 4 x + 4$

2. Evaluamos la derivada para tener la pendiente. $f'(0) = 4$

3. Evaluamos la función para tener el punto. $f(0) = 0$ , así que la tangente pasa por $(0, 0)$ .

4. Armamos la recta. $y - 0 = 4(x + 0)$ , o sea $y = 4 x$ .

Respuesta: $y = 4 x$

6. Hallá la recta normal a $f(x) = x^{2}$ en $x = 4$ .

Ver solución

1. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = 2 x$ , así que $f'(4) = 8$ .

2. Pasamos a la pendiente de la normal. La normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es $-\dfrac{1}{8}$ .

3. Buscamos el punto. $f(4) = 16$ , o sea $(4, 16)$ .

4. Armamos la recta. $y - 16 = - \dfrac{1}{8}(x - 4)$ , o sea $y = \dfrac{33}{2} - \dfrac{x}{8}$ .

Respuesta: $y = \dfrac{33}{2} - \dfrac{x}{8}$

7. Hallá el punto de $f(x) = 3 x^{2} + 2 x$ donde la recta tangente tiene pendiente $14$ .

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1. Derivamos. $f'(x) = 6 x + 2$

2. Planteamos la condición. La pendiente de la tangente es la derivada, así que pedimos $6 x + 2 = 14$ .

3. Despejamos. $x = 2$

4. Calculamos la altura. $f(2) = 16$ , así que el punto es $(2, 16)$ .

Respuesta: el punto es $(2, 16)$

8. Hallá los puntos de $f(x) = x^{2} - 2 x + 7$ donde la tangente es horizontal.

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1. Traducimos la condición geométrica. Una recta horizontal tiene pendiente cero, así que hay que pedir $f'(x) = 0$ .

2. Derivamos. $f'(x) = 2 x - 2$

3. Resolvemos. $2 x - 2 = 0$ da $x = 1$ .

4. Calculamos el punto y lo interpretamos. $f(1) = 6$ , así que el punto es $(1, 6)$ : es el vértice de la parábola, donde deja de subir o de bajar.

Respuesta: solo $(1, 6)$

9. Hallá la recta tangente a $f(x) = x^{2} - 2 x$ en $x = 3$ .

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1. Derivamos. $f'(x) = 2 x - 2$

2. Evaluamos la derivada para tener la pendiente. $f'(3) = 4$

3. Evaluamos la función para tener el punto. $f(3) = 3$ , así que la tangente pasa por $(3, 3)$ .

4. Armamos la recta. $y - 3 = 4(x - 3)$ , o sea $y = 4 x - 9$ .

Respuesta: $y = 4 x - 9$

10. Hallá la recta normal a $f(x) = x^{2}$ en $x = 3$ .

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1. Derivamos y evaluamos. $f'(x) = 2 x$ , así que $f'(3) = 6$ .

2. Pasamos a la pendiente de la normal. La normal es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es $-\dfrac{1}{6}$ .

3. Buscamos el punto. $f(3) = 9$ , o sea $(3, 9)$ .

4. Armamos la recta. $y - 9 = - \dfrac{1}{6}(x - 3)$ , o sea $y = \dfrac{19}{2} - \dfrac{x}{6}$ .

Respuesta: $y = \dfrac{19}{2} - \dfrac{x}{6}$

11. Hallá el punto de $f(x) = x^{2} + 4 x$ donde la recta tangente tiene pendiente $10$ .

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1. Derivamos. $f'(x) = 2 x + 4$

2. Planteamos la condición. La pendiente de la tangente es la derivada, así que pedimos $2 x + 4 = 10$ .

3. Despejamos. $x = 3$

4. Calculamos la altura. $f(3) = 21$ , así que el punto es $(3, 21)$ .

Respuesta: el punto es $(3, 21)$

12. Hallá los puntos de $f(x) = 3 x^{2} - 6 x + 5$ donde la tangente es horizontal.

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1. Traducimos la condición geométrica. Una recta horizontal tiene pendiente cero, así que hay que pedir $f'(x) = 0$ .

2. Derivamos. $f'(x) = 6 x - 6$

3. Resolvemos. $6 x - 6 = 0$ da $x = 1$ .

4. Calculamos el punto y lo interpretamos. $f(1) = 2$ , así que el punto es $(1, 2)$ : es el vértice de la parábola, donde deja de subir o de bajar.

Respuesta: solo $(1, 2)$

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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