Ejercicios: Dónde una función no tiene derivada

si es derivable en a, entonces es continua en a

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Decidí si $f(x) = |x - 6|$ es derivable en $x = 6$ .

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1. Chequeamos la continuidad. $f(6) = 0$ y los dos laterales tienden a $0$ , así que es continua ahí. La continuidad es necesaria, pero no alcanza.

2. Calculamos la derivada lateral por derecha. Para $x > 6$ la función es $x - 6$ , cuya derivada es $1$ .

3. Calculamos la de izquierda. Para $x < 6$ la función es $-(x - 6)$ , cuya derivada es $-1$ .

4. Concluimos. Las derivadas laterales existen pero dan $1$ y $-1$ : no hay una única pendiente. En $x = 6$ el gráfico tiene un pico.

Respuesta: no es derivable en $x = 6$ : hay un pico

2. Decidí si $f(x) = \sqrt[3]{x - 4}$ es derivable en $x = 4$ .

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1. Chequeamos la continuidad. La raíz cúbica está definida para todo real y es continua, también en $x = 4$ , donde vale $0$ .

2. Derivamos donde se puede. Escribiendo la raíz como potencia, $f(x) = (x - 4)^{1/3}$ y $f'(x) = \dfrac{1}{3(x - 4)^{2/3}}$ .

3. Miramos qué pasa en el punto. En $x = 4$ el denominador se anula, así que la derivada se dispara: $f'(x) \to +\infty$ de los dos lados.

4. Concluimos. La curva es suave pero se para completamente derecha: hay tangente vertical, y una recta vertical no tiene pendiente definida.

Respuesta: no es derivable en $x = 4$ : hay tangente vertical

3. Sea $f(x) = 4 x$ si $x \leq -1$ y $f(x) = x^{2} - 5$ si $x > -1$ . Decidí si es continua y si es derivable en $x = -1$ .

Ver solución

1. Chequeamos la continuidad. El lateral izquierdo vale $-4$ y el derecho $-4$ , que coinciden con $f(-1) = -4$ : es continua.

2. Derivamos cada rama. A la izquierda $f'(x) = 4$ y a la derecha $f'(x) = 2 x$ .

3. Comparamos las derivadas laterales en el punto. Por izquierda $4$ y por derecha $-2$ : dan distinto.

4. Concluimos. Es continua pero no derivable: las ramas se juntan con inclinaciones distintas y queda un pico.

Respuesta: es continua pero no derivable en $x = -1$

4. Sea $f(x) = x + 1$ si $x < 2$ y $f(x) = 9$ si $x \geq 2$ , con $9 \neq 3$ . Decidí si es derivable en $x = 2$ .

Ver solución

1. Calculamos los laterales. Por izquierda el límite es $3$ y por derecha $9$ : son distintos.

2. Clasificamos. El límite no existe, así que la función no es continua en $x = 2$ : hay un salto.

3. Usamos la implicación conocida. Si una función es derivable en un punto, entonces es continua ahí. Contrarrecíproco: si no es continua, no puede ser derivable.

4. Concluimos. Ni siquiera hace falta calcular derivadas laterales: la discontinuidad ya cierra el caso.

Respuesta: no es derivable, porque ni siquiera es continua en $x = 2$

5. Decidí si $f(x) = |x - 5|$ es derivable en $x = 5$ .

Ver solución

1. Chequeamos la continuidad. $f(5) = 0$ y los dos laterales tienden a $0$ , así que es continua ahí. La continuidad es necesaria, pero no alcanza.

2. Calculamos la derivada lateral por derecha. Para $x > 5$ la función es $x - 5$ , cuya derivada es $1$ .

3. Calculamos la de izquierda. Para $x < 5$ la función es $-(x - 5)$ , cuya derivada es $-1$ .

4. Concluimos. Las derivadas laterales existen pero dan $1$ y $-1$ : no hay una única pendiente. En $x = 5$ el gráfico tiene un pico.

Respuesta: no es derivable en $x = 5$ : hay un pico

6. Decidí si $f(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ es derivable en $x = 1$ .

Ver solución

1. Chequeamos la continuidad. La raíz cúbica está definida para todo real y es continua, también en $x = 1$ , donde vale $0$ .

2. Derivamos donde se puede. Escribiendo la raíz como potencia, $f(x) = (x - 1)^{1/3}$ y $f'(x) = \dfrac{1}{3(x - 1)^{2/3}}$ .

3. Miramos qué pasa en el punto. En $x = 1$ el denominador se anula, así que la derivada se dispara: $f'(x) \to +\infty$ de los dos lados.

4. Concluimos. La curva es suave pero se para completamente derecha: hay tangente vertical, y una recta vertical no tiene pendiente definida.

Respuesta: no es derivable en $x = 1$ : hay tangente vertical

7. Sea $f(x) = 3 x$ si $x \leq 2$ y $f(x) = x^{2} + 2$ si $x > 2$ . Decidí si es continua y si es derivable en $x = 2$ .

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1. Chequeamos la continuidad. El lateral izquierdo vale $6$ y el derecho $6$ , que coinciden con $f(2) = 6$ : es continua.

2. Derivamos cada rama. A la izquierda $f'(x) = 3$ y a la derecha $f'(x) = 2 x$ .

3. Comparamos las derivadas laterales en el punto. Por izquierda $3$ y por derecha $4$ : dan distinto.

4. Concluimos. Es continua pero no derivable: las ramas se juntan con inclinaciones distintas y queda un pico.

Respuesta: es continua pero no derivable en $x = 2$

8. Sea $f(x) = x + 1$ si $x < 4$ y $f(x) = 6$ si $x \geq 4$ , con $6 \neq 5$ . Decidí si es derivable en $x = 4$ .

Ver solución

1. Calculamos los laterales. Por izquierda el límite es $5$ y por derecha $6$ : son distintos.

2. Clasificamos. El límite no existe, así que la función no es continua en $x = 4$ : hay un salto.

3. Usamos la implicación conocida. Si una función es derivable en un punto, entonces es continua ahí. Contrarrecíproco: si no es continua, no puede ser derivable.

4. Concluimos. Ni siquiera hace falta calcular derivadas laterales: la discontinuidad ya cierra el caso.

Respuesta: no es derivable, porque ni siquiera es continua en $x = 4$

9. Decidí si $f(x) = |x - 3|$ es derivable en $x = 3$ .

Ver solución

1. Chequeamos la continuidad. $f(3) = 0$ y los dos laterales tienden a $0$ , así que es continua ahí. La continuidad es necesaria, pero no alcanza.

2. Calculamos la derivada lateral por derecha. Para $x > 3$ la función es $x - 3$ , cuya derivada es $1$ .

3. Calculamos la de izquierda. Para $x < 3$ la función es $-(x - 3)$ , cuya derivada es $-1$ .

4. Concluimos. Las derivadas laterales existen pero dan $1$ y $-1$ : no hay una única pendiente. En $x = 3$ el gráfico tiene un pico.

Respuesta: no es derivable en $x = 3$ : hay un pico

10. Decidí si $f(x) = \sqrt[3]{x - 5}$ es derivable en $x = 5$ .

Ver solución

1. Chequeamos la continuidad. La raíz cúbica está definida para todo real y es continua, también en $x = 5$ , donde vale $0$ .

2. Derivamos donde se puede. Escribiendo la raíz como potencia, $f(x) = (x - 5)^{1/3}$ y $f'(x) = \dfrac{1}{3(x - 5)^{2/3}}$ .

3. Miramos qué pasa en el punto. En $x = 5$ el denominador se anula, así que la derivada se dispara: $f'(x) \to +\infty$ de los dos lados.

4. Concluimos. La curva es suave pero se para completamente derecha: hay tangente vertical, y una recta vertical no tiene pendiente definida.

Respuesta: no es derivable en $x = 5$ : hay tangente vertical

11. Sea $f(x) = 6 x$ si $x \leq 2$ y $f(x) = x^{2} + 8$ si $x > 2$ . Decidí si es continua y si es derivable en $x = 2$ .

Ver solución

1. Chequeamos la continuidad. El lateral izquierdo vale $12$ y el derecho $12$ , que coinciden con $f(2) = 12$ : es continua.

2. Derivamos cada rama. A la izquierda $f'(x) = 6$ y a la derecha $f'(x) = 2 x$ .

3. Comparamos las derivadas laterales en el punto. Por izquierda $6$ y por derecha $4$ : dan distinto.

4. Concluimos. Es continua pero no derivable: las ramas se juntan con inclinaciones distintas y queda un pico.

Respuesta: es continua pero no derivable en $x = 2$

12. Sea $f(x) = x + 1$ si $x < 2$ y $f(x) = 5$ si $x \geq 2$ , con $5 \neq 3$ . Decidí si es derivable en $x = 2$ .

Ver solución

1. Calculamos los laterales. Por izquierda el límite es $3$ y por derecha $5$ : son distintos.

2. Clasificamos. El límite no existe, así que la función no es continua en $x = 2$ : hay un salto.

3. Usamos la implicación conocida. Si una función es derivable en un punto, entonces es continua ahí. Contrarrecíproco: si no es continua, no puede ser derivable.

4. Concluimos. Ni siquiera hace falta calcular derivadas laterales: la discontinuidad ya cierra el caso.

Respuesta: no es derivable, porque ni siquiera es continua en $x = 2$

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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