Derivadas trigonométricas

El seno deriva en coseno y el coseno deriva en menos seno. Ese signo negativo es el detalle que más se olvida y es lo único que distingue a las dos.

Derivando cuatro veces seguidas se vuelve al punto de partida, porque el signo se va alternando. Ese ciclo de cuatro es útil cuando el ejercicio pide una derivada de orden alto: alcanza con mirar el resto de dividir el orden por cuatro.

Las demás trigonométricas salen de estas dos usando la regla del cociente, porque todas se escriben como cocientes de seno y coseno. La tangente es la más usada y su derivada tiene dos formas equivalentes, según cómo se simplifique.

Todas estas fórmulas valen solo si el ángulo está en radianes. En grados aparecen constantes de conversión que ensucian todo, y esa es la razón práctica por la que en análisis siempre se trabaja en radianes.

( \operatorname{sen} x ) ' = \cos x ( \cos x ) ' = - \operatorname{sen} x

Cuándo se usa

Cuando aparece un seno, un coseno o una tangente. Cuidado con el signo del coseno. Si adentro de la función trigonométrica hay algo más que la variable sola, va la regla de la cadena.

Ejemplo 1

Derivar $f(x) = 3 \operatorname{sen} x - 2 \cos x$ .

Derivamos el primer término. La derivada de $\operatorname{sen} x$ es $\cos x$ , así que queda $3 \cos x$ .
Derivamos el segundo, con cuidado con el signo. La derivada de $\cos x$ es $-\operatorname{sen} x$ .
Aplicamos el menos que ya estaba delante. $-2 \cdot (-\operatorname{sen} x) = +2 \operatorname{sen} x$ . Menos por menos da más.
Unimos. $3 \cos x + 2 \operatorname{sen} x$
Respuesta: $f'(x) = 3 \cos x + 2 \operatorname{sen} x$

Ejemplo 2

Hallar la pendiente de la tangente a $f(x) = \operatorname{sen} x$ en $x = 0$ y en $x = \pi /2$ .

Derivamos. $f'(x) = \cos x$
Evaluamos en cero. $f'(0) = \cos 0 = 1$ . La curva sube con pendiente $1$ .
Evaluamos en $\pi /2$ . $f'(\pi /2) = \cos(\pi /2) = 0$ . La curva está plana.
Interpretamos. Coincide con el gráfico: el seno arranca subiendo en diagonal y se aplana justo en su máximo.
Respuesta: $1$ en el origen y $0$ en $\pi /2$

Error típico

Derivar $\cos x$ y contestar $\operatorname{sen} x$ sin el menos. Se ve en el gráfico: entre $0$ y $\pi$ el coseno está bajando, así que su derivada tiene que ser negativa en ese tramo, y $\operatorname{sen} x$ ahí es positivo.

Practicar

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Otros subtemas de Derivadas

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