Ejercicios: La regla de la cadena

[ f(g(x)) ] ' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Derivá $f(x) = (5 x + 3)^{2}$ .

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1. Reconocemos la composición. Afuera hay una potencia de exponente $2$ y adentro está $5 x + 3$ .

2. Derivamos la de afuera dejando lo de adentro igual. $2(5 x + 3)^{1}$

3. Derivamos lo de adentro. $(5 x + 3)' = 5$

4. Multiplicamos las dos. $f'(x) = 50 x + 30$ . El último paso es el que se olvida: derivar solo la de afuera da un resultado que parece razonable pero está mal.

Respuesta: $f'(x) = 50 x + 30$

2. Derivá $f(x) = \operatorname{sen}(2 x + 4)$ .

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1. Reconocemos la composición. Afuera está el seno y adentro $2 x + 4$ .

2. Derivamos la de afuera. $(\operatorname{sen} u)' = \cos u$ , con $u$ sin tocar: $\cos(2 x + 4)$ .

3. Derivamos lo de adentro. $(2 x + 4)' = 2$

4. Multiplicamos. $f'(x) = 2\cos(2 x + 4)$

Respuesta: $f'(x) = 2\cos(2 x + 4)$

3. Derivá $f(x) = \ln(7 x^{2} + 4)$ .

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1. Reconocemos la composición. Afuera está el logaritmo y adentro el polinomio $7 x^{2} + 4$ .

2. Derivamos la de afuera. $(\ln u)' = \dfrac{1}{u}$ , o sea $\dfrac{1}{7 x^{2} + 4}$ .

3. Derivamos lo de adentro. $(7 x^{2} + 4)' = 14 x$

4. Multiplicamos. $f'(x) = \dfrac{14 x}{7 x^{2} + 4}$ . Esta forma, derivada de adentro sobre lo de adentro, aparece todo el tiempo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{14 x}{7 x^{2} + 4}$

4. Derivá $f(x) = \sqrt{6 x^{2} + 2}$ .

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1. Reescribimos la raíz como potencia. $f(x) = (6 x^{2} + 2)^{1/2}$ , así queda claro que es una composición.

2. Derivamos la de afuera. $\dfrac{1}{2}(6 x^{2} + 2)^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{6 x^{2} + 2}}$

3. Derivamos lo de adentro. $(6 x^{2} + 2)' = 12 x$

4. Multiplicamos y simplificamos. $f'(x) = \dfrac{3 \sqrt{2} x}{\sqrt{3 x^{2} + 1}}$

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{3 \sqrt{2} x}{\sqrt{3 x^{2} + 1}}$

5. Derivá $f(x) = (6 x + 2)^{3}$ .

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1. Reconocemos la composición. Afuera hay una potencia de exponente $3$ y adentro está $6 x + 2$ .

2. Derivamos la de afuera dejando lo de adentro igual. $3(6 x + 2)^{2}$

3. Derivamos lo de adentro. $(6 x + 2)' = 6$

4. Multiplicamos las dos. $f'(x) = 72 \left(3 x + 1\right)^{2}$ . El último paso es el que se olvida: derivar solo la de afuera da un resultado que parece razonable pero está mal.

Respuesta: $f'(x) = 72 \left(3 x + 1\right)^{2}$

6. Derivá $f(x) = \operatorname{sen}(3 x + 2)$ .

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1. Reconocemos la composición. Afuera está el seno y adentro $3 x + 2$ .

2. Derivamos la de afuera. $(\operatorname{sen} u)' = \cos u$ , con $u$ sin tocar: $\cos(3 x + 2)$ .

3. Derivamos lo de adentro. $(3 x + 2)' = 3$

4. Multiplicamos. $f'(x) = 3\cos(3 x + 2)$

Respuesta: $f'(x) = 3\cos(3 x + 2)$

7. Derivá $f(x) = \ln(4 x^{2} + 1)$ .

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1. Reconocemos la composición. Afuera está el logaritmo y adentro el polinomio $4 x^{2} + 1$ .

2. Derivamos la de afuera. $(\ln u)' = \dfrac{1}{u}$ , o sea $\dfrac{1}{4 x^{2} + 1}$ .

3. Derivamos lo de adentro. $(4 x^{2} + 1)' = 8 x$

4. Multiplicamos. $f'(x) = \dfrac{8 x}{4 x^{2} + 1}$ . Esta forma, derivada de adentro sobre lo de adentro, aparece todo el tiempo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{8 x}{4 x^{2} + 1}$

8. Derivá $f(x) = \sqrt{2 x^{2} + 9}$ .

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1. Reescribimos la raíz como potencia. $f(x) = (2 x^{2} + 9)^{1/2}$ , así queda claro que es una composición.

2. Derivamos la de afuera. $\dfrac{1}{2}(2 x^{2} + 9)^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{2 x^{2} + 9}}$

3. Derivamos lo de adentro. $(2 x^{2} + 9)' = 4 x$

4. Multiplicamos y simplificamos. $f'(x) = \dfrac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} + 9}}$

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} + 9}}$

9. Derivá $f(x) = (2 x + 5)^{3}$ .

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1. Reconocemos la composición. Afuera hay una potencia de exponente $3$ y adentro está $2 x + 5$ .

2. Derivamos la de afuera dejando lo de adentro igual. $3(2 x + 5)^{2}$

3. Derivamos lo de adentro. $(2 x + 5)' = 2$

4. Multiplicamos las dos. $f'(x) = 6 \left(2 x + 5\right)^{2}$ . El último paso es el que se olvida: derivar solo la de afuera da un resultado que parece razonable pero está mal.

Respuesta: $f'(x) = 6 \left(2 x + 5\right)^{2}$

10. Derivá $f(x) = \operatorname{sen}(7 x + 2)$ .

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1. Reconocemos la composición. Afuera está el seno y adentro $7 x + 2$ .

2. Derivamos la de afuera. $(\operatorname{sen} u)' = \cos u$ , con $u$ sin tocar: $\cos(7 x + 2)$ .

3. Derivamos lo de adentro. $(7 x + 2)' = 7$

4. Multiplicamos. $f'(x) = 7\cos(7 x + 2)$

Respuesta: $f'(x) = 7\cos(7 x + 2)$

11. Derivá $f(x) = \ln(2 x^{2} + 7)$ .

Ver solución

1. Reconocemos la composición. Afuera está el logaritmo y adentro el polinomio $2 x^{2} + 7$ .

2. Derivamos la de afuera. $(\ln u)' = \dfrac{1}{u}$ , o sea $\dfrac{1}{2 x^{2} + 7}$ .

3. Derivamos lo de adentro. $(2 x^{2} + 7)' = 4 x$

4. Multiplicamos. $f'(x) = \dfrac{4 x}{2 x^{2} + 7}$ . Esta forma, derivada de adentro sobre lo de adentro, aparece todo el tiempo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{4 x}{2 x^{2} + 7}$

12. Derivá $f(x) = \sqrt{3 x^{2} + 4}$ .

Ver solución

1. Reescribimos la raíz como potencia. $f(x) = (3 x^{2} + 4)^{1/2}$ , así queda claro que es una composición.

2. Derivamos la de afuera. $\dfrac{1}{2}(3 x^{2} + 4)^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{3 x^{2} + 4}}$

3. Derivamos lo de adentro. $(3 x^{2} + 4)' = 6 x$

4. Multiplicamos y simplificamos. $f'(x) = \dfrac{3 x}{\sqrt{3 x^{2} + 4}}$

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{3 x}{\sqrt{3 x^{2} + 4}}$

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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