Ejercicios: La regla del cociente

2. Derivamos cada uno. $u' = 6$ y $v' = 1$.

3. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} = \dfrac{6(x + 5) - (6 x + 1) \cdot 1}{(x + 5)^{2}}$

4. Simplificamos el numerador. $f'(x) = \dfrac{29}{\left(x + 5\right)^{2}}$. El orden importa por el signo menos: invertir los dos términos de arriba cambia el resultado de signo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{29}{\left(x + 5\right)^{2}}$

2. Derivamos cada uno. $u' = 3x^{2}$ y $v' = e^{x}$.

3. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{3x^{2}e^{x} - x^{3}e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}$

4. Simplificamos. Sacamos $e^{x}$ de factor común arriba y cancelamos con uno de abajo: $f'(x) = x^{2} \left(3 - x\right) e^{- x}$.

Respuesta: $f'(x) = x^{2} \left(3 - x\right) e^{- x}$

2. Derivamos cada uno. $u' = \cos x$ y $v' = 6$.

3. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{\cos x \cdot 6x - \operatorname{sen} x \cdot 6}{(6x)^{2}}$

4. Simplificamos. Sacamos $6$ de factor común arriba y cancelamos: $f'(x) = \dfrac{x\cos x - \operatorname{sen} x}{6x^{2}}$. El denominador al cuadrado es lo que más se olvida.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{x\cos x - \operatorname{sen} x}{6x^{2}}$

2. Desarrollamos el numerador. $x^{2} + 2 x - 6$

3. Escribimos la derivada. $f'(x) = \dfrac{- x^{2} + 2 x \left(x + 1\right) - 6}{\left(x + 1\right)^{2}}$

4. Evaluamos. $f'(2) = \dfrac{2}{9}$, así que en ese punto la función está creciendo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{- x^{2} + 2 x \left(x + 1\right) - 6}{\left(x + 1\right)^{2}}$ y $f'(2) = \dfrac{2}{9}$

2. Derivamos cada uno. $u' = 4$ y $v' = 1$.

3. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} = \dfrac{4(x + 2) - (4 x + 5) \cdot 1}{(x + 2)^{2}}$

4. Simplificamos el numerador. $f'(x) = \dfrac{3}{\left(x + 2\right)^{2}}$. El orden importa por el signo menos: invertir los dos términos de arriba cambia el resultado de signo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{3}{\left(x + 2\right)^{2}}$

2. Derivamos cada uno. $u' = 5x^{4}$ y $v' = e^{x}$.

3. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{5x^{4}e^{x} - x^{5}e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}$

4. Simplificamos. Sacamos $e^{x}$ de factor común arriba y cancelamos con uno de abajo: $f'(x) = x^{4} \left(5 - x\right) e^{- x}$.

Respuesta: $f'(x) = x^{4} \left(5 - x\right) e^{- x}$

2. Derivamos cada uno. $u' = \cos x$ y $v' = 4$.

3. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{\cos x \cdot 4x - \operatorname{sen} x \cdot 4}{(4x)^{2}}$

4. Simplificamos. Sacamos $4$ de factor común arriba y cancelamos: $f'(x) = \dfrac{x\cos x - \operatorname{sen} x}{4x^{2}}$. El denominador al cuadrado es lo que más se olvida.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{x\cos x - \operatorname{sen} x}{4x^{2}}$

2. Desarrollamos el numerador. $x^{2} + 4 x - 5$

3. Escribimos la derivada. $f'(x) = \dfrac{- x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{2}}$

4. Evaluamos. $f'(3) = \dfrac{16}{25}$, así que en ese punto la función está creciendo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{- x^{2} + 2 x \left(x + 2\right) - 5}{\left(x + 2\right)^{2}}$ y $f'(3) = \dfrac{16}{25}$

2. Derivamos cada uno. $u' = 3$ y $v' = 1$.

3. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}} = \dfrac{3(x + 4) - (3 x + 1) \cdot 1}{(x + 4)^{2}}$

4. Simplificamos el numerador. $f'(x) = \dfrac{11}{\left(x + 4\right)^{2}}$. El orden importa por el signo menos: invertir los dos términos de arriba cambia el resultado de signo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{11}{\left(x + 4\right)^{2}}$

2. Derivamos cada uno. $u' = 2x^{1}$ y $v' = e^{x}$.

3. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{2x^{1}e^{x} - x^{2}e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}$

4. Simplificamos. Sacamos $e^{x}$ de factor común arriba y cancelamos con uno de abajo: $f'(x) = x \left(2 - x\right) e^{- x}$.

Respuesta: $f'(x) = x \left(2 - x\right) e^{- x}$

2. Derivamos cada uno. $u' = \cos x$ y $v' = 7$.

3. Aplicamos la regla. $f' = \dfrac{\cos x \cdot 7x - \operatorname{sen} x \cdot 7}{(7x)^{2}}$

4. Simplificamos. Sacamos $7$ de factor común arriba y cancelamos: $f'(x) = \dfrac{x\cos x - \operatorname{sen} x}{7x^{2}}$. El denominador al cuadrado es lo que más se olvida.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{x\cos x - \operatorname{sen} x}{7x^{2}}$

2. Desarrollamos el numerador. $x^{2} + 6 x - 4$

3. Escribimos la derivada. $f'(x) = \dfrac{- x^{2} + 2 x \left(x + 3\right) - 4}{\left(x + 3\right)^{2}}$

4. Evaluamos. $f'(1) = \dfrac{3}{16}$, así que en ese punto la función está creciendo.

Respuesta: $f'(x) = \dfrac{- x^{2} + 2 x \left(x + 3\right) - 4}{\left(x + 3\right)^{2}}$ y $f'(1) = \dfrac{3}{16}$