Ejercicios: El teorema de Bolzano

1. Probá que la ecuación $x^{3} + x - 3 = 0$ tiene al menos una solución en $[0, 2]$ .

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1. Verificamos la continuidad. $f(x) = x^{3} + x - 3$ es un polinomio, y los polinomios son continuos en todos los reales, en particular en el intervalo cerrado $[0, 2]$ .

2. Evaluamos en el extremo izquierdo. $f(0) = -3$ , que es negativo.

3. Evaluamos en el derecho. $f(2) = 7$ , que es positivo.

4. Aplicamos el teorema. Función continua con valores de signos opuestos en los extremos: por Bolzano existe al menos un punto del intervalo donde vale cero. El teorema no dice cuál ni cuántos.

Respuesta: por Bolzano hay al menos una raíz en $(0, 2)$

2. Sabiendo que $f(x) = x^{2} - 7$ tiene una raíz en $[1, 2]$ , acotala en un intervalo de longitud $\dfrac{1}{2}$ evaluando en el punto medio.

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1. Verificamos las hipótesis. $f$ es continua, $f(1) = -6$ y $f(2) = -3$ : signos opuestos, así que hay raíz en el medio.

2. Evaluamos en el punto medio. $f\left(\dfrac{3}{2}\right) = - \dfrac{19}{4}$ , que es negativo.

3. Elegimos la mitad que sirve. El cambio de signo está entre $\dfrac{3}{2}$ y $2$ .

4. Escribimos la cota. La raíz está en $[\dfrac{3}{2}; 2]$ , que mide $\dfrac{1}{2}$ . Repitiendo el paso se la acota tanto como se quiera.

Respuesta: la raíz está en $[\dfrac{3}{2}; 2]$

3. Decidí si se puede aplicar Bolzano a $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ en el intervalo $[2, 4]$ , donde $f(2) = -1$ y $f(4) = 1$ .

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1. Chequeamos el signo en los extremos. Uno es negativo y el otro positivo, así que esa hipótesis se cumple.

2. Chequeamos la continuidad. La función no está definida en $x = 3$ , que está adentro del intervalo, así que no es continua ahí.

3. Concluimos sobre el teorema. Falta una hipótesis, así que el teorema no se puede aplicar y no garantiza nada.

4. Verificamos que efectivamente no hay raíz. $\dfrac{1}{x - 3} = 0$ no tiene solución, porque una fracción con numerador $1$ nunca vale cero. La curva pasa de negativa a positiva saltando por la asíntota.

Respuesta: no se puede aplicar, porque no es continua en el intervalo, y de hecho no hay raíz

4. Probá que $x^{3} + 6 x - 3 = 0$ tiene exactamente una solución real.

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1. Aplicamos Bolzano para la existencia. $f$ es continua, $f(0) = -3$ es negativo y $f(3) = 42$ es positivo, así que hay al menos una raíz entre $0$ y $3$ .

2. Vemos por qué eso no alcanza. Bolzano garantiza al menos una, pero no dice cuántas: podrían ser tres.

3. Estudiamos el crecimiento. $x^{3}$ y $6x$ son las dos crecientes, así que su suma también lo es, y restarle una constante no cambia eso.

4. Concluimos. Una función estrictamente creciente toma cada valor una sola vez, así que no puede anularse dos veces: la raíz es única.

Respuesta: existe por Bolzano y es única porque la función es estrictamente creciente

5. Probá que la ecuación $x^{3} + 2 x - 5 = 0$ tiene al menos una solución en $[0, 2]$ .

Ver solución

1. Verificamos la continuidad. $f(x) = x^{3} + 2 x - 5$ es un polinomio, y los polinomios son continuos en todos los reales, en particular en el intervalo cerrado $[0, 2]$ .

2. Evaluamos en el extremo izquierdo. $f(0) = -5$ , que es negativo.

3. Evaluamos en el derecho. $f(2) = 7$ , que es positivo.

4. Aplicamos el teorema. Función continua con valores de signos opuestos en los extremos: por Bolzano existe al menos un punto del intervalo donde vale cero. El teorema no dice cuál ni cuántos.

Respuesta: por Bolzano hay al menos una raíz en $(0, 2)$

6. Sabiendo que $f(x) = x^{2} - 3$ tiene una raíz en $[1, 2]$ , acotala en un intervalo de longitud $\dfrac{1}{2}$ evaluando en el punto medio.

Ver solución

1. Verificamos las hipótesis. $f$ es continua, $f(1) = -2$ y $f(2) = 1$ : signos opuestos, así que hay raíz en el medio.

2. Evaluamos en el punto medio. $f\left(\dfrac{3}{2}\right) = - \dfrac{3}{4}$ , que es negativo.

3. Elegimos la mitad que sirve. El cambio de signo está entre $\dfrac{3}{2}$ y $2$ .

4. Escribimos la cota. La raíz está en $[\dfrac{3}{2}; 2]$ , que mide $\dfrac{1}{2}$ . Repitiendo el paso se la acota tanto como se quiera.

Respuesta: la raíz está en $[\dfrac{3}{2}; 2]$

7. Decidí si se puede aplicar Bolzano a $f(x) = \dfrac{1}{x - 6}$ en el intervalo $[5, 7]$ , donde $f(5) = -1$ y $f(7) = 1$ .

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1. Chequeamos el signo en los extremos. Uno es negativo y el otro positivo, así que esa hipótesis se cumple.

2. Chequeamos la continuidad. La función no está definida en $x = 6$ , que está adentro del intervalo, así que no es continua ahí.

3. Concluimos sobre el teorema. Falta una hipótesis, así que el teorema no se puede aplicar y no garantiza nada.

4. Verificamos que efectivamente no hay raíz. $\dfrac{1}{x - 6} = 0$ no tiene solución, porque una fracción con numerador $1$ nunca vale cero. La curva pasa de negativa a positiva saltando por la asíntota.

Respuesta: no se puede aplicar, porque no es continua en el intervalo, y de hecho no hay raíz

8. Probá que $x^{3} + 4 x - 2 = 0$ tiene exactamente una solución real.

Ver solución

1. Aplicamos Bolzano para la existencia. $f$ es continua, $f(0) = -2$ es negativo y $f(2) = 14$ es positivo, así que hay al menos una raíz entre $0$ y $2$ .

2. Vemos por qué eso no alcanza. Bolzano garantiza al menos una, pero no dice cuántas: podrían ser tres.

3. Estudiamos el crecimiento. $x^{3}$ y $4x$ son las dos crecientes, así que su suma también lo es, y restarle una constante no cambia eso.

4. Concluimos. Una función estrictamente creciente toma cada valor una sola vez, así que no puede anularse dos veces: la raíz es única.

Respuesta: existe por Bolzano y es única porque la función es estrictamente creciente

9. Probá que la ecuación $x^{3} + x - 7 = 0$ tiene al menos una solución en $[1, 3]$ .

Ver solución

1. Verificamos la continuidad. $f(x) = x^{3} + x - 7$ es un polinomio, y los polinomios son continuos en todos los reales, en particular en el intervalo cerrado $[1, 3]$ .

2. Evaluamos en el extremo izquierdo. $f(1) = -5$ , que es negativo.

3. Evaluamos en el derecho. $f(3) = 23$ , que es positivo.

4. Aplicamos el teorema. Función continua con valores de signos opuestos en los extremos: por Bolzano existe al menos un punto del intervalo donde vale cero. El teorema no dice cuál ni cuántos.

Respuesta: por Bolzano hay al menos una raíz en $(1, 3)$

10. Sabiendo que $f(x) = x^{2} - 2$ tiene una raíz en $[1, 2]$ , acotala en un intervalo de longitud $\dfrac{1}{2}$ evaluando en el punto medio.

Ver solución

1. Verificamos las hipótesis. $f$ es continua, $f(1) = -1$ y $f(2) = 2$ : signos opuestos, así que hay raíz en el medio.

2. Evaluamos en el punto medio. $f\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{1}{4}$ , que es positivo.

3. Elegimos la mitad que sirve. El cambio de signo está entre $1$ y $\dfrac{3}{2}$ .

4. Escribimos la cota. La raíz está en $[1; \dfrac{3}{2}]$ , que mide $\dfrac{1}{2}$ . Repitiendo el paso se la acota tanto como se quiera.

Respuesta: la raíz está en $[1; \dfrac{3}{2}]$

11. Decidí si se puede aplicar Bolzano a $f(x) = \dfrac{1}{x - 5}$ en el intervalo $[4, 6]$ , donde $f(4) = -1$ y $f(6) = 1$ .

Ver solución

1. Chequeamos el signo en los extremos. Uno es negativo y el otro positivo, así que esa hipótesis se cumple.

2. Chequeamos la continuidad. La función no está definida en $x = 5$ , que está adentro del intervalo, así que no es continua ahí.

3. Concluimos sobre el teorema. Falta una hipótesis, así que el teorema no se puede aplicar y no garantiza nada.

4. Verificamos que efectivamente no hay raíz. $\dfrac{1}{x - 5} = 0$ no tiene solución, porque una fracción con numerador $1$ nunca vale cero. La curva pasa de negativa a positiva saltando por la asíntota.

Respuesta: no se puede aplicar, porque no es continua en el intervalo, y de hecho no hay raíz

12. Probá que $x^{3} + 3 x - 1 = 0$ tiene exactamente una solución real.

Ver solución

1. Aplicamos Bolzano para la existencia. $f$ es continua, $f(0) = -1$ es negativo y $f(1) = 3$ es positivo, así que hay al menos una raíz entre $0$ y $1$ .

2. Vemos por qué eso no alcanza. Bolzano garantiza al menos una, pero no dice cuántas: podrían ser tres.

3. Estudiamos el crecimiento. $x^{3}$ y $3x$ son las dos crecientes, así que su suma también lo es, y restarle una constante no cambia eso.

4. Concluimos. Una función estrictamente creciente toma cada valor una sola vez, así que no puede anularse dos veces: la raíz es única.

Respuesta: existe por Bolzano y es única porque la función es estrictamente creciente