Ejercicios: Continuidad por tramos

se verifican solo los bordes entre tramos

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá el valor de $k$ que hace continua a $f(x) = 6x + k$ si $x < 2$ y $f(x) = x^{2}$ si $x \geq 2$ .

Ver solución

1. Ubicamos dónde puede fallar la continuidad. Cada rama es un polinomio, continuo en su intervalo, así que el único punto a estudiar es $x = 2$ .

2. Calculamos el valor de la función en el punto. La condición $x \geq 2$ incluye al punto, así que $f(2) = 2^{2} = 4$ , que además es el lateral derecho.

3. Escribimos el lateral izquierdo. $\lim_{x \to 2^-} \left(6x + k\right) = 12 + k$

4. Igualamos y despejamos. $12 + k = 4$ , entonces $k = -8$ . Con ese valor las tres condiciones se cumplen.

Respuesta: $k = -8$

2. Hallá $m$ y $n$ para que $f(x) = 2x$ si $x < 1$ , $f(x) = mx + n$ si $1 \leq x < 4$ y $f(x) = x + 1$ si $x \geq 4$ sea continua.

Ver solución

1. Ubicamos los puntos a estudiar. Cada rama es una recta, así que solo hay que mirar los cambios: $x = 1$ y $x = 4$ .

2. Planteamos la ecuación del primer punto. El lateral izquierdo vale $2$ y la rama del medio vale $m \cdot 1 + n$ , así que $m + n = 2$ .

3. Planteamos la del segundo. La rama del medio tiende a $m \cdot 4 + n$ y la tercera vale $5$ , así que $4m + n = 5$ .

4. Resolvemos el sistema. Restando las dos ecuaciones queda $3m = 3$ , o sea $m = 1$ , y de ahí $n = 1$ .

Respuesta: $m = 1$ y $n = 1$

3. Sea $f(x) = x + 3$ si $x \leq -1$ y $f(x) = 2x$ si $x > -1$ . Decidí con qué fórmula se calcula $f(-1)$ y si $f$ es continua ahí.

Ver solución

1. Miramos las desigualdades con cuidado. La primera dice $x \leq -1$ , así que el punto $-1$ pertenece al primer tramo: se usa $x + 3$ .

2. Calculamos el valor en el punto. $f(-1) = 2$

3. Calculamos los dos laterales. Por izquierda $2$ , con la primera fórmula, y por derecha $-2$ , con la segunda.

4. Concluimos. El límite no existe, porque los laterales dan $2$ y $-2$ : hay una discontinuidad de salto.

Respuesta: se usa $x + 3$ , con $f(-1) = 2$ , y no es continua: hay salto

4. Decidí si $f(x) = x^{2}$ si $x \leq 4$ y $f(x) = \dfrac{1}{x - 4}$ si $x > 4$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .

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1. Estudiamos cada rama por separado. $x^{2}$ es continua en $(-\infty, 4]$ y $\dfrac{1}{x - 4}$ lo es para $x > 4$ , porque ahí el denominador no se anula.

2. Miramos el punto de cambio. $f(4) = 16$ y el lateral izquierdo también vale $16$ .

3. Calculamos el lateral derecho. Cuando $x \to 4^{+}$ , el denominador tiende a $0^{+}$ y la fracción se dispara a $+\infty$ .

4. Concluimos. El límite no existe en $x = 4$ , así que la función no es continua ahí. En el resto de los reales sí lo es.

Respuesta: no: falla en $x = 4$ , donde la discontinuidad es esencial

5. Hallá el valor de $k$ que hace continua a $f(x) = 2x + k$ si $x < 3$ y $f(x) = x^{2}$ si $x \geq 3$ .

Ver solución

1. Ubicamos dónde puede fallar la continuidad. Cada rama es un polinomio, continuo en su intervalo, así que el único punto a estudiar es $x = 3$ .

2. Calculamos el valor de la función en el punto. La condición $x \geq 3$ incluye al punto, así que $f(3) = 3^{2} = 9$ , que además es el lateral derecho.

3. Escribimos el lateral izquierdo. $\lim_{x \to 3^-} \left(2x + k\right) = 6 + k$

4. Igualamos y despejamos. $6 + k = 9$ , entonces $k = 3$ . Con ese valor las tres condiciones se cumplen.

Respuesta: $k = 3$

6. Hallá $m$ y $n$ para que $f(x) = 2x$ si $x < 1$ , $f(x) = mx + n$ si $1 \leq x < 3$ y $f(x) = x + 1$ si $x \geq 3$ sea continua.

Ver solución

1. Ubicamos los puntos a estudiar. Cada rama es una recta, así que solo hay que mirar los cambios: $x = 1$ y $x = 3$ .

2. Planteamos la ecuación del primer punto. El lateral izquierdo vale $2$ y la rama del medio vale $m \cdot 1 + n$ , así que $m + n = 2$ .

3. Planteamos la del segundo. La rama del medio tiende a $m \cdot 3 + n$ y la tercera vale $4$ , así que $3m + n = 4$ .

4. Resolvemos el sistema. Restando las dos ecuaciones queda $2m = 2$ , o sea $m = 1$ , y de ahí $n = 1$ .

Respuesta: $m = 1$ y $n = 1$

7. Sea $f(x) = x + 5$ si $x \leq 2$ y $f(x) = 2x$ si $x > 2$ . Decidí con qué fórmula se calcula $f(2)$ y si $f$ es continua ahí.

Ver solución

1. Miramos las desigualdades con cuidado. La primera dice $x \leq 2$ , así que el punto $2$ pertenece al primer tramo: se usa $x + 5$ .

2. Calculamos el valor en el punto. $f(2) = 7$

3. Calculamos los dos laterales. Por izquierda $7$ , con la primera fórmula, y por derecha $4$ , con la segunda.

4. Concluimos. El límite no existe, porque los laterales dan $7$ y $4$ : hay una discontinuidad de salto.

Respuesta: se usa $x + 5$ , con $f(2) = 7$ , y no es continua: hay salto

8. Decidí si $f(x) = x^{2}$ si $x \leq 2$ y $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ si $x > 2$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .

Ver solución

1. Estudiamos cada rama por separado. $x^{2}$ es continua en $(-\infty, 2]$ y $\dfrac{1}{x - 2}$ lo es para $x > 2$ , porque ahí el denominador no se anula.

2. Miramos el punto de cambio. $f(2) = 4$ y el lateral izquierdo también vale $4$ .

3. Calculamos el lateral derecho. Cuando $x \to 2^{+}$ , el denominador tiende a $0^{+}$ y la fracción se dispara a $+\infty$ .

4. Concluimos. El límite no existe en $x = 2$ , así que la función no es continua ahí. En el resto de los reales sí lo es.

Respuesta: no: falla en $x = 2$ , donde la discontinuidad es esencial

9. Hallá el valor de $k$ que hace continua a $f(x) = x + k$ si $x < 4$ y $f(x) = x^{2}$ si $x \geq 4$ .

Ver solución

1. Ubicamos dónde puede fallar la continuidad. Cada rama es un polinomio, continuo en su intervalo, así que el único punto a estudiar es $x = 4$ .

2. Calculamos el valor de la función en el punto. La condición $x \geq 4$ incluye al punto, así que $f(4) = 4^{2} = 16$ , que además es el lateral derecho.

3. Escribimos el lateral izquierdo. $\lim_{x \to 4^-} \left(x + k\right) = 4 + k$

4. Igualamos y despejamos. $4 + k = 16$ , entonces $k = 12$ . Con ese valor las tres condiciones se cumplen.

Respuesta: $k = 12$

10. Hallá $m$ y $n$ para que $f(x) = 2x$ si $x < -1$ , $f(x) = mx + n$ si $-1 \leq x < 2$ y $f(x) = x + 1$ si $x \geq 2$ sea continua.

Ver solución

1. Ubicamos los puntos a estudiar. Cada rama es una recta, así que solo hay que mirar los cambios: $x = -1$ y $x = 2$ .

2. Planteamos la ecuación del primer punto. El lateral izquierdo vale $-2$ y la rama del medio vale $m \cdot (-1) + n$ , así que $-m + n = -2$ .

3. Planteamos la del segundo. La rama del medio tiende a $m \cdot 2 + n$ y la tercera vale $3$ , así que $2m + n = 3$ .

4. Resolvemos el sistema. Restando las dos ecuaciones queda $3m = 5$ , o sea $m = \dfrac{5}{3}$ , y de ahí $n = - \dfrac{1}{3}$ .

Respuesta: $m = \dfrac{5}{3}$ y $n = - \dfrac{1}{3}$

11. Sea $f(x) = x + 2$ si $x \leq 4$ y $f(x) = 2x$ si $x > 4$ . Decidí con qué fórmula se calcula $f(4)$ y si $f$ es continua ahí.

Ver solución

1. Miramos las desigualdades con cuidado. La primera dice $x \leq 4$ , así que el punto $4$ pertenece al primer tramo: se usa $x + 2$ .

2. Calculamos el valor en el punto. $f(4) = 6$

3. Calculamos los dos laterales. Por izquierda $6$ , con la primera fórmula, y por derecha $8$ , con la segunda.

4. Concluimos. El límite no existe, porque los laterales dan $6$ y $8$ : hay una discontinuidad de salto.

Respuesta: se usa $x + 2$ , con $f(4) = 6$ , y no es continua: hay salto

12. Decidí si $f(x) = x^{2}$ si $x \leq 3$ y $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ si $x > 3$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .

Ver solución

1. Estudiamos cada rama por separado. $x^{2}$ es continua en $(-\infty, 3]$ y $\dfrac{1}{x - 3}$ lo es para $x > 3$ , porque ahí el denominador no se anula.

2. Miramos el punto de cambio. $f(3) = 9$ y el lateral izquierdo también vale $9$ .

3. Calculamos el lateral derecho. Cuando $x \to 3^{+}$ , el denominador tiende a $0^{+}$ y la fracción se dispara a $+\infty$ .

4. Concluimos. El límite no existe en $x = 3$ , así que la función no es continua ahí. En el resto de los reales sí lo es.

Respuesta: no: falla en $x = 3$ , donde la discontinuidad es esencial

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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