Continuidad por tramos

En una función definida por tramos, cada fórmula es continua dentro de su intervalo, porque suelen ser funciones conocidas. Lo único que hay que estudiar son los puntos donde la fórmula cambia.

En cada uno de esos puntos se aplican las tres condiciones. El límite por izquierda se calcula con la fórmula del tramo anterior, el de la derecha con la del tramo siguiente, y el valor de la función con la fórmula que incluya ese punto según las condiciones.

Ese último detalle importa: hay que mirar bien si la condición dice menor o menor o igual, porque eso decide qué fórmula se usa exactamente en el punto.

Muchos ejercicios traen un parámetro en alguna de las fórmulas y piden el valor que hace continua a la función. La ecuación sale de igualar los dos laterales, o de igualar el lateral que corresponda con el valor de la función.

Si hay más de un punto de cambio y más de un parámetro, se plantea una ecuación por punto y queda un sistema.

se verifican solo los bordes entre tramos

Cuándo se usa

Cuando la función viene con llave y varias fórmulas. Estudiá solo los puntos donde cambia la fórmula. Si hay un parámetro, la ecuación sale de igualar los dos laterales en ese punto.

Ejemplo 1

Hallar $k$ para que sea continua la función que vale $x + k$ si $x < 3$ y $2x$ si $x \geq 3$ .

Identificamos el borde. El único punto dudoso es $x = 3$ .
Calculamos el lateral izquierdo. Con $x + k$ se acerca a $3 + k$ .
Calculamos el derecho. Con $2x$ se acerca a $6$ , que además es $f(3)$ .
Planteamos la igualdad. $3 + k = 6$
Despejamos. $k = 3$
Respuesta: $k = 3$

Ejemplo 2

Verificar la continuidad en $x = 0$ de la función que vale $x + 1$ si $x < 0$ y $x^{2} + 1$ si $x \geq 0$ .

Calculamos el valor. El cero cae en el segundo tramo: $f(0) = 1$ .
Calculamos el lateral izquierdo. Con $x + 1$ se acerca a $1$ .
Calculamos el derecho. Con $x^{2} + 1$ se acerca a $1$ .
Comparamos las tres cosas. Los dos laterales y el valor dan $1$ .
Respuesta: es continua en $x = 0$

Error típico

Calcular los dos laterales con la misma fórmula. Cada lado tiene la suya, y usar la equivocada da un resultado que parece razonable pero está mal.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .