Ejercicios: El criterio de la primera derivada

2. Estudiamos el signo antes y entre. $f'(-3) = 15$ (positiva) y $f'(0) = -12$ (negativa).

3. Clasificamos el primero. La derivada pasa de positiva a negativa en $x = -2$: la función venía subiendo y empieza a bajar, así que hay un máximo local.

4. Clasificamos el segundo. $f'(3) = 15$ es positiva, así que en $x = 2$ la derivada pasa de negativa a positiva: hay un mínimo local.

Respuesta: máximo local en $x = -2$ y mínimo local en $x = 2$

2. Hallamos los críticos. Se anula en $x = 0$, $x = 2$ y $x = -2$.

3. Estudiamos el signo por tramos. $f'(-3) < 0$, $f'\left(-1\right) > 0$, $f'\left(1\right) < 0$ y $f'(3) > 0$.

4. Clasificamos los tres. En $x = -2$ pasa de negativa a positiva: mínimo. En $x = 0$ pasa de positiva a negativa: máximo. En $x = 2$ vuelve a pasar de negativa a positiva: mínimo.

Respuesta: mínimos en $x = -2$ y $x = 2$, y máximo local en $x = 0$

2. Hallamos el punto crítico. Se anula solo en $x = 2$.

3. Estudiamos el signo alrededor. $(x - 2)^{2}$ es un cuadrado, así que la derivada es positiva a los dos lados y solo se anula en el punto.

4. Concluimos. El signo de la derivada no cambia, así que no hay extremo: la función sigue creciendo. En $x = 2$ hay una tangente horizontal sin máximo ni mínimo.

Respuesta: no hay extremo en $x = 2$: la derivada no cambia de signo

2. Estudiamos el signo de la derivada a la izquierda. Para $x < 5$ la función es $(5 - x)$, con derivada $-1$: negativa.

3. Estudiamos el signo a la derecha. Para $x > 5$ la derivada vale $1$: positiva.

4. Clasificamos. Pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo local en $x = 5$, con $f(5) = 0$. El criterio funciona igual aunque la derivada no exista en el punto.

Respuesta: mínimo local en $x = 5$

2. Estudiamos el signo antes y entre. $f'(-1) = 15$ (positiva) y $f'(2) = -12$ (negativa).

3. Clasificamos el primero. La derivada pasa de positiva a negativa en $x = 0$: la función venía subiendo y empieza a bajar, así que hay un máximo local.

4. Clasificamos el segundo. $f'(5) = 15$ es positiva, así que en $x = 4$ la derivada pasa de negativa a positiva: hay un mínimo local.

Respuesta: máximo local en $x = 0$ y mínimo local en $x = 4$

2. Hallamos los críticos. Se anula en $x = 0$, $x = \sqrt{6}$ y $x = - \sqrt{6}$.

3. Estudiamos el signo por tramos. $f'(- \sqrt{6} - 1) < 0$, $f'\left(- \dfrac{\sqrt{6}}{2}\right) > 0$, $f'\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right) < 0$ y $f'(1 + \sqrt{6}) > 0$.

4. Clasificamos los tres. En $x = - \sqrt{6}$ pasa de negativa a positiva: mínimo. En $x = 0$ pasa de positiva a negativa: máximo. En $x = \sqrt{6}$ vuelve a pasar de negativa a positiva: mínimo.

Respuesta: mínimos en $x = - \sqrt{6}$ y $x = \sqrt{6}$, y máximo local en $x = 0$

2. Hallamos el punto crítico. Se anula solo en $x = 3$.

3. Estudiamos el signo alrededor. $(x - 3)^{2}$ es un cuadrado, así que la derivada es positiva a los dos lados y solo se anula en el punto.

4. Concluimos. El signo de la derivada no cambia, así que no hay extremo: la función sigue creciendo. En $x = 3$ hay una tangente horizontal sin máximo ni mínimo.

Respuesta: no hay extremo en $x = 3$: la derivada no cambia de signo

2. Estudiamos el signo de la derivada a la izquierda. Para $x < 2$ la función es $3(2 - x)$, con derivada $-3$: negativa.

3. Estudiamos el signo a la derecha. Para $x > 2$ la derivada vale $3$: positiva.

4. Clasificamos. Pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo local en $x = 2$, con $f(2) = 0$. El criterio funciona igual aunque la derivada no exista en el punto.

Respuesta: mínimo local en $x = 2$

2. Estudiamos el signo antes y entre. $f'(0) = 9$ (positiva) y $f'(2) = -3$ (negativa).

3. Clasificamos el primero. La derivada pasa de positiva a negativa en $x = 1$: la función venía subiendo y empieza a bajar, así que hay un máximo local.

4. Clasificamos el segundo. $f'(4) = 9$ es positiva, así que en $x = 3$ la derivada pasa de negativa a positiva: hay un mínimo local.

Respuesta: máximo local en $x = 1$ y mínimo local en $x = 3$

2. Hallamos los críticos. Se anula en $x = 0$, $x = \sqrt{5}$ y $x = - \sqrt{5}$.

3. Estudiamos el signo por tramos. $f'(- \sqrt{5} - 1) < 0$, $f'\left(- \dfrac{\sqrt{5}}{2}\right) > 0$, $f'\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right) < 0$ y $f'(1 + \sqrt{5}) > 0$.

4. Clasificamos los tres. En $x = - \sqrt{5}$ pasa de negativa a positiva: mínimo. En $x = 0$ pasa de positiva a negativa: máximo. En $x = \sqrt{5}$ vuelve a pasar de negativa a positiva: mínimo.

Respuesta: mínimos en $x = - \sqrt{5}$ y $x = \sqrt{5}$, y máximo local en $x = 0$

2. Hallamos el punto crítico. Se anula solo en $x = 5$.

3. Estudiamos el signo alrededor. $(x - 5)^{2}$ es un cuadrado, así que la derivada es positiva a los dos lados y solo se anula en el punto.

4. Concluimos. El signo de la derivada no cambia, así que no hay extremo: la función sigue creciendo. En $x = 5$ hay una tangente horizontal sin máximo ni mínimo.

Respuesta: no hay extremo en $x = 5$: la derivada no cambia de signo

2. Estudiamos el signo de la derivada a la izquierda. Para $x < 3$ la función es $5(3 - x)$, con derivada $-5$: negativa.

3. Estudiamos el signo a la derecha. Para $x > 3$ la derivada vale $5$: positiva.

4. Clasificamos. Pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo local en $x = 3$, con $f(3) = 0$. El criterio funciona igual aunque la derivada no exista en el punto.

Respuesta: mínimo local en $x = 3$