Método

Ejercicios: Máximos y mínimos absolutos

candidatos == críticos interiores ++ los dos extremos

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá el máximo y el mínimo absolutos de f(x)=x3−45xf(x) = x^{3} - 45 x en [0,215][0, 2 \sqrt{15}].

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1. Buscamos los puntos críticos. f′(x)=3x2−45f'(x) = 3 x^{2} - 45, que se anula en x=15x = \sqrt{15} y x=−15x = - \sqrt{15}. Solo 15\sqrt{15} está adentro del intervalo.

2. Evaluamos en el crítico interior. f(15)=−3015f(\sqrt{15}) = - 30 \sqrt{15}

3. Evaluamos en los dos extremos del intervalo. f(0)=0f(0) = 0 y f(215)=3015f(2 \sqrt{15}) = 30 \sqrt{15}.

4. Comparamos los tres valores. El mayor es el máximo absoluto y el menor el mínimo. En un intervalo cerrado los extremos siempre se alcanzan, y pueden estar en el borde.

Respuesta: máximo 301530 \sqrt{15} en x=215x = 2 \sqrt{15} y mínimo −3015- 30 \sqrt{15} en x=15x = \sqrt{15}

2. Para f(x)=x3−12xf(x) = x^{3} - 12 x, decidí si el máximo local en x=−2x = -2 es también máximo absoluto en R\mathbb{R}.

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1. Confirmamos que es máximo local. f′(x)=3x2−12f'(x) = 3 x^{2} - 12 se anula en x=−2x = -2 y x=2x = 2, y alrededor de −2-2 la derivada pasa de positiva a negativa.

2. Calculamos ese valor. f(−2)=16f(-2) = 16

3. Miramos el comportamiento en el infinito. Como el grado es impar con coeficiente positivo, f(x)→+∞f(x) \to +\infty cuando x→+∞x \to +\infty.

4. Concluimos. La función supera cualquier valor, así que no hay máximo absoluto: 1616 es el más alto solo de su vecindad.

Respuesta: es máximo local pero no absoluto: la función no está acotada

3. Hallá el mínimo absoluto de f(x)=x+7xf(x) = x + \dfrac{7}{x} para x>0x > 0.

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1. Derivamos. f′(x)=1−7x2=x2−7x2f'(x) = 1 - \dfrac{7}{x^{2}} = \dfrac{x^{2} - 7}{x^{2}}

2. Buscamos los críticos del dominio. Se anula cuando x2=7x^{2} = 7, o sea x=7x = \sqrt{7}, que es el único positivo.

3. Estudiamos el signo. Para 0<x<70 < x < \sqrt{7} la derivada es negativa y para x>7x > \sqrt{7} es positiva: la función baja y después sube.

4. Concluimos. Es un mínimo, y como es el único cambio de dirección en todo el dominio, también es absoluto: f(7)=27f(\sqrt{7}) = 2 \sqrt{7}.

Respuesta: el mínimo absoluto es 272 \sqrt{7}, en x=7x = \sqrt{7}

4. La ganancia de vender xx unidades es G(x)=−2x2+50xG(x) = - 2 x^{2} + 50 x pesos, con 0≤x≤500 \leq x \leq 50. Hallá la producción que la maximiza.

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1. Derivamos. G′(x)=50−4xG'(x) = 50 - 4 x

2. Buscamos los puntos críticos. 50−4x=050 - 4 x = 0 da x=252x = \dfrac{25}{2}, que está adentro del intervalo.

3. Evaluamos ahí y en los bordes. G(252)=6252G(\dfrac{25}{2}) = \dfrac{625}{2}, G(0)=0G(0) = 0 y G(50)=−2500G(50) = -2500.

4. Comparamos. El mayor de los tres es 6252\dfrac{625}{2}, así que conviene producir 252\dfrac{25}{2} unidades. En los bordes la ganancia es mucho menor.

Respuesta: conviene producir 252\dfrac{25}{2} unidades, con ganancia 6252\dfrac{625}{2} pesos

5. Hallá el máximo y el mínimo absolutos de f(x)=x3−9xf(x) = x^{3} - 9 x en [0,23][0, 2 \sqrt{3}].

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1. Buscamos los puntos críticos. f′(x)=3x2−9f'(x) = 3 x^{2} - 9, que se anula en x=3x = \sqrt{3} y x=−3x = - \sqrt{3}. Solo 3\sqrt{3} está adentro del intervalo.

2. Evaluamos en el crítico interior. f(3)=−63f(\sqrt{3}) = - 6 \sqrt{3}

3. Evaluamos en los dos extremos del intervalo. f(0)=0f(0) = 0 y f(23)=63f(2 \sqrt{3}) = 6 \sqrt{3}.

4. Comparamos los tres valores. El mayor es el máximo absoluto y el menor el mínimo. En un intervalo cerrado los extremos siempre se alcanzan, y pueden estar en el borde.

Respuesta: máximo 636 \sqrt{3} en x=23x = 2 \sqrt{3} y mínimo −63- 6 \sqrt{3} en x=3x = \sqrt{3}

6. Para f(x)=x3−108xf(x) = x^{3} - 108 x, decidí si el máximo local en x=−6x = -6 es también máximo absoluto en R\mathbb{R}.

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1. Confirmamos que es máximo local. f′(x)=3x2−108f'(x) = 3 x^{2} - 108 se anula en x=−6x = -6 y x=6x = 6, y alrededor de −6-6 la derivada pasa de positiva a negativa.

2. Calculamos ese valor. f(−6)=432f(-6) = 432

3. Miramos el comportamiento en el infinito. Como el grado es impar con coeficiente positivo, f(x)→+∞f(x) \to +\infty cuando x→+∞x \to +\infty.

4. Concluimos. La función supera cualquier valor, así que no hay máximo absoluto: 432432 es el más alto solo de su vecindad.

Respuesta: es máximo local pero no absoluto: la función no está acotada

7. Hallá el mínimo absoluto de f(x)=x+6xf(x) = x + \dfrac{6}{x} para x>0x > 0.

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1. Derivamos. f′(x)=1−6x2=x2−6x2f'(x) = 1 - \dfrac{6}{x^{2}} = \dfrac{x^{2} - 6}{x^{2}}

2. Buscamos los críticos del dominio. Se anula cuando x2=6x^{2} = 6, o sea x=6x = \sqrt{6}, que es el único positivo.

3. Estudiamos el signo. Para 0<x<60 < x < \sqrt{6} la derivada es negativa y para x>6x > \sqrt{6} es positiva: la función baja y después sube.

4. Concluimos. Es un mínimo, y como es el único cambio de dirección en todo el dominio, también es absoluto: f(6)=26f(\sqrt{6}) = 2 \sqrt{6}.

Respuesta: el mínimo absoluto es 262 \sqrt{6}, en x=6x = \sqrt{6}

8. La ganancia de vender xx unidades es G(x)=−4x2+80xG(x) = - 4 x^{2} + 80 x pesos, con 0≤x≤800 \leq x \leq 80. Hallá la producción que la maximiza.

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1. Derivamos. G′(x)=80−8xG'(x) = 80 - 8 x

2. Buscamos los puntos críticos. 80−8x=080 - 8 x = 0 da x=10x = 10, que está adentro del intervalo.

3. Evaluamos ahí y en los bordes. G(10)=400G(10) = 400, G(0)=0G(0) = 0 y G(80)=−19200G(80) = -19200.

4. Comparamos. El mayor de los tres es 400400, así que conviene producir 1010 unidades. En los bordes la ganancia es mucho menor.

Respuesta: conviene producir 1010 unidades, con ganancia 400400 pesos

9. Hallá el máximo y el mínimo absolutos de f(x)=x3−36xf(x) = x^{3} - 36 x en [0,43][0, 4 \sqrt{3}].

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1. Buscamos los puntos críticos. f′(x)=3x2−36f'(x) = 3 x^{2} - 36, que se anula en x=23x = 2 \sqrt{3} y x=−23x = - 2 \sqrt{3}. Solo 232 \sqrt{3} está adentro del intervalo.

2. Evaluamos en el crítico interior. f(23)=−483f(2 \sqrt{3}) = - 48 \sqrt{3}

3. Evaluamos en los dos extremos del intervalo. f(0)=0f(0) = 0 y f(43)=483f(4 \sqrt{3}) = 48 \sqrt{3}.

4. Comparamos los tres valores. El mayor es el máximo absoluto y el menor el mínimo. En un intervalo cerrado los extremos siempre se alcanzan, y pueden estar en el borde.

Respuesta: máximo 48348 \sqrt{3} en x=43x = 4 \sqrt{3} y mínimo −483- 48 \sqrt{3} en x=23x = 2 \sqrt{3}

10. Para f(x)=x3−75xf(x) = x^{3} - 75 x, decidí si el máximo local en x=−5x = -5 es también máximo absoluto en R\mathbb{R}.

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1. Confirmamos que es máximo local. f′(x)=3x2−75f'(x) = 3 x^{2} - 75 se anula en x=−5x = -5 y x=5x = 5, y alrededor de −5-5 la derivada pasa de positiva a negativa.

2. Calculamos ese valor. f(−5)=250f(-5) = 250

3. Miramos el comportamiento en el infinito. Como el grado es impar con coeficiente positivo, f(x)→+∞f(x) \to +\infty cuando x→+∞x \to +\infty.

4. Concluimos. La función supera cualquier valor, así que no hay máximo absoluto: 250250 es el más alto solo de su vecindad.

Respuesta: es máximo local pero no absoluto: la función no está acotada

11. Hallá el mínimo absoluto de f(x)=x+4xf(x) = x + \dfrac{4}{x} para x>0x > 0.

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1. Derivamos. f′(x)=1−4x2=x2−4x2f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^{2}} = \dfrac{x^{2} - 4}{x^{2}}

2. Buscamos los críticos del dominio. Se anula cuando x2=4x^{2} = 4, o sea x=2x = 2, que es el único positivo.

3. Estudiamos el signo. Para 0<x<20 < x < 2 la derivada es negativa y para x>2x > 2 es positiva: la función baja y después sube.

4. Concluimos. Es un mínimo, y como es el único cambio de dirección en todo el dominio, también es absoluto: f(2)=4f(2) = 4.

Respuesta: el mínimo absoluto es 44, en x=2x = 2

12. La ganancia de vender xx unidades es G(x)=−3x2+60xG(x) = - 3 x^{2} + 60 x pesos, con 0≤x≤600 \leq x \leq 60. Hallá la producción que la maximiza.

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1. Derivamos. G′(x)=60−6xG'(x) = 60 - 6 x

2. Buscamos los puntos críticos. 60−6x=060 - 6 x = 0 da x=10x = 10, que está adentro del intervalo.

3. Evaluamos ahí y en los bordes. G(10)=300G(10) = 300, G(0)=0G(0) = 0 y G(60)=−7200G(60) = -7200.

4. Comparamos. El mayor de los tres es 300300, así que conviene producir 1010 unidades. En los bordes la ganancia es mucho menor.

Respuesta: conviene producir 1010 unidades, con ganancia 300300 pesos

Integradores de Aplicaciones de la derivada: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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