Método

Máximos y mínimos absolutos

Un extremo local es el más alto o el más bajo de su vecindad. Un extremo absoluto es el más alto o el más bajo de todo el intervalo que se está estudiando. Son cosas distintas y los ejercicios suelen pedir una u otra con precisión.

En un intervalo cerrado el procedimiento es corto y seguro. Se buscan los puntos críticos que estén adentro, se evalúa la función en cada uno, se evalúa también en los dos extremos del intervalo, y se comparan todos los valores. El mayor es el máximo absoluto y el menor es el mínimo.

Evaluar en los extremos del intervalo es el paso que más se olvida, y muchas veces el máximo está justo ahí, sin ser punto crítico.

En un intervalo cerrado y con función continua, los extremos absolutos siempre existen. En intervalos abiertos o infinitos puede que no exista ninguno.

Notar que acá no hace falta clasificar los puntos críticos: alcanza con evaluar y comparar.

candidatos == críticos interiores ++ los dos extremos
Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da un intervalo cerrado y pide el máximo o el mínimo absoluto. Evaluá en los puntos críticos y también en los dos extremos del intervalo, y compará todos los valores.

Ejemplo 1

Hallar los extremos absolutos de f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3x en [0,3][0, 3].

Derivamos y buscamos los críticos. f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x-1)(x+1), con raíces x=±1x = \pm 1.
Descartamos los que quedan fuera del intervalo. x=−1x = -1 no está en [0,3][0, 3], así que se descarta. Queda x=1x = 1.
Armamos la lista de candidatos. x=0x = 0 y x=3x = 3 por ser bordes, y x=1x = 1 por ser crítico.
Evaluamos la función en los tres. f(0)=0f(0) = 0, f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2, f(3)=27−9=18f(3) = 27 - 9 = 18.
Comparamos. El mayor es 1818 y el menor es −2-2.
Respuesta: máximo absoluto 1818 en x=3x = 3, mínimo absoluto −2-2 en x=1x = 1

Ejemplo 2

Hallar los extremos absolutos de f(x)=x2−4xf(x) = x^{2} - 4x en [1,5][1, 5].

Derivamos y buscamos los críticos. f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4, que se anula en x=2x = 2, dentro del intervalo.
Armamos la lista. x=1x = 1, x=2x = 2 y x=5x = 5.
Evaluamos. f(1)=−3f(1) = -3, f(2)=−4f(2) = -4, f(5)=5f(5) = 5.
Comparamos. El mayor es 55 y el menor es −4-4.
Respuesta: máximo absoluto 55 en x=5x = 5, mínimo absoluto −4-4 en x=2x = 2

Error típico

Buscar solo entre los puntos críticos y olvidarse de evaluar en aa y en bb. Es el error más caro del subtema, porque muchas veces el extremo absoluto está justamente ahí.

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

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