Optimización con geometría

Una caja sin tapa de base cuadrada tiene volumen $32 \,\mathrm{cm}^{3}$. Hallar las medidas que minimizan el material.

Nombramos y escribimos las fórmulas. $x$ es el lado de la base y $h$ la altura. Volumen: $x^{2}h = 32$. Área sin tapa: $A = x^{2} + 4xh$.
Despejamos h de la restricción. $h = 32/x^{2}$
Reemplazamos en el área. $A(x) = x^{2} + 4x \cdot 32/x^{2} = x^{2} + 128/x$
Derivamos e igualamos a cero. $A'(x) = 2x - 128/x^{2} = 0$, entonces $2x^{3} = 128$ y $x^{3} = 64$, o sea $x = 4$.
Verificamos que sea mínimo y volvemos al enunciado. $A''(x) = 2 + 256/x^{3}$, que en $x = 4$ da $6 > 0$: mínimo. Y $h = 32/16 = 2$.
Respuesta: la base mide $4$ cm de lado y la altura $2$ cm

Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un semicírculo de radio $5$, con la base sobre el diámetro.

Nombramos con el dibujo. La base va de $-x$ a $x$, así que mide $2x$. La altura es $y$.
Escribimos la restricción. El vértice superior está en la semicircunferencia: $x^{2} + y^{2} = 25$, así que $y = \sqrt{25 - x^{2}}$.
Escribimos el área con una sola variable. $A(x) = 2x \sqrt{25 - x^{2}}$
Derivamos con producto y cadena. $A'(x) = 2\sqrt{25 - x^{2}} - 2x^{2}/\sqrt{25 - x^{2}}$. Igualando a cero y multiplicando por la raíz: $2(25 - x^{2}) = 2x^{2}$.
Despejamos y volvemos al enunciado. $25 = 2x^{2}$, entonces $x = 5/\sqrt{2}$. La altura es $y = \sqrt{25 - 12{,}5} = 5/\sqrt{2}$ también.
Respuesta: la base mide $10/\sqrt{2} \approx 7{,}07$ y la altura $5/\sqrt{2} \approx 3{,}54$