Optimización: el método

Los problemas de optimización piden el valor que hace máxima o mínima alguna cantidad. Son los ejercicios más largos de la unidad porque hay que traducir un enunciado en palabras a una función.

El primer paso es identificar qué se quiere optimizar y llamarlo con una letra. Esa es la función objetivo.

El segundo es escribirla en función de las variables del problema. Casi siempre quedan dos variables, y ahí aparece el tercer paso: buscar en el enunciado la relación que las vincula. Esa relación se llama restricción y suele ser un perímetro fijo, un volumen dado o un presupuesto.

Con la restricción se despeja una variable y se reemplaza en la función objetivo, que queda con una sola variable. Recién ahí se deriva, se buscan los puntos críticos y se clasifican.

El último paso es verificar que la respuesta tenga sentido en el contexto. Una longitud negativa o un valor fuera del rango posible hay que descartarlos, aunque sean solución matemática de la ecuación.

Definir el dominio del problema desde el principio ahorra ese descarte al final.

armar

\to

dejar una sola variable

\to

derivar

Cuándo se usa

Cuando el enunciado pide el máximo o el mínimo de algo en una situación concreta. Identificá qué optimizar, escribilo en función de las variables, buscá la restricción que las relaciona y reemplazá para quedar con una sola.

Ejemplo 1

Con $100 m$ de alambre se quiere cercar un corral rectangular contra una pared, que no se cerca. Hallar las medidas de área máxima.

Nombramos las variables. $x$ son los dos lados perpendiculares a la pared e $y$ el lado paralelo.
Escribimos lo que se quiere maximizar. El área es $A = x \cdot y$ .
Escribimos la restricción y despejamos. Se cercan tres lados: $2x + y = 100$ , así que $y = 100 - 2x$ .
Reemplazamos para dejar una sola variable. $A(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x^{2}$
Derivamos, igualamos a cero y clasificamos. $A'(x) = 100 - 4x = 0$ da $x = 25$ . Como $A'' = -4 < 0$ , es un máximo.
Volvemos al enunciado. $y = 100 - 50 = 50$ , y el área es $25 \cdot 50 = 1250$ .
Respuesta: el corral mide $25 m$ por $50 m$ , con área $1250 \,\mathrm{m}^{2}$

Ejemplo 2

Hallar dos números positivos que sumen $20$ y cuyo producto sea máximo.

Nombramos las variables. Los números son $x$ e $y$ .
Escribimos lo que se maximiza. $P = x \cdot y$
Usamos la restricción. $x + y = 20$ , así que $y = 20 - x$ .
Reemplazamos y derivamos. $P(x) = 20x - x^{2}$ , con $P'(x) = 20 - 2x$ .
Igualamos a cero y verificamos. $x = 10$ , y como $P'' = -2 < 0$ es máximo.
Respuesta: los dos números son $10$ y $10$ , con producto $100$

Error típico

Derivar la restricción en vez de la función a optimizar. La restricción sirve para eliminar una variable, no para derivarla. Lo que se deriva es siempre la cantidad que se quiere hacer máxima o mínima.

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