Método

Cuándo el criterio no decide

Cuando la derivada primera y la segunda se anulan las dos en el mismo punto, el criterio de la derivada segunda no dice nada. Ese punto puede ser máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas.

Los tres casos existen y conviene tener un ejemplo de cada uno en la cabeza. Con la cuarta potencia hay un mínimo, con su opuesta hay un máximo, y con la tercera potencia no hay extremo sino un punto de inflexión con tangente horizontal.

En los tres casos las dos primeras derivadas se anulan en el origen, así que el criterio de la segunda derivada no puede distinguirlos.

La salida es siempre el criterio de la primera derivada: estudiar el signo a cada lado y ver si cambia. Ese criterio no falla nunca.

Hay una alternativa que a veces se pide: seguir derivando hasta encontrar la primera derivada que no se anule. Si el orden de esa derivada es par hay extremo, y si es impar hay inflexión con tangente horizontal.

f′(c)=f′′(c)=0→f'(c) = f''(c) = 0 \to volver al criterio de la primera
Cuándo se usa

Cuando aplicaste el criterio de la derivada segunda y dio cero. No concluyas que no hay extremo: eso es un error. Pasá al criterio de la primera derivada y estudiá el signo a cada lado.

Ejemplo 1

Clasificar el crítico de f(x)=x4f(x) = x^{4} en el origen.

Verificamos que el criterio de la segunda falla. f′(x)=4x3f'(x) = 4x^{3} da f′(0)=0f'(0) = 0, y f′′(x)=12x2f''(x) = 12x^{2} da f′′(0)=0f''(0) = 0. No decide.
Pasamos al criterio de la primera. Probamos el signo de f′f' a cada lado.
Evaluamos a la izquierda. f′(−1)=−4<0f'(-1) = -4 < 0: la función viene bajando.
Evaluamos a la derecha. f′(1)=4>0f'(1) = 4 > 0: la función pasa a subir.
Concluimos. El signo pasa de −- a ++.
Respuesta: hay un mínimo local en (0,0)(0, 0)

Ejemplo 2

Clasificar el crítico de f(x)=x5f(x) = x^{5} en el origen.

Derivamos dos veces. f′(x)=5x4f'(x) = 5x^{4} y f′′(x)=20x3f''(x) = 20x^{3}.
Verificamos que las dos se anulan. f′(0)=0f'(0) = 0 y f′′(0)=0f''(0) = 0. El criterio de la segunda no decide.
Estudiamos el signo de la primera. f′(−1)=5>0f'(-1) = 5 > 0 y f′(1)=5>0f'(1) = 5 > 0. Como el exponente es par, 5x45x^{4} es positivo siempre.
Concluimos. El signo no cambia: la función sube, se aplana y sigue subiendo.
Respuesta: no hay extremo en el origen, solo un aplanamiento

Error típico

Concluir que si f′′(c)=0f''(c) = 0 entonces hay inflexión. La derivada segunda nula es candidata a inflexión, pero hay que verificar el cambio de signo de f′′f'', que en x4x^{4} no ocurre.

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

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