Ejercicios: Cuándo el criterio no decide

f'(c) = f''(c) = 0 \to

volver al criterio de la primera

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Clasificá el punto crítico de $f(x) = x^{4} + 3$ en $x = 0$ .

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1. Calculamos las dos derivadas. $f'(x) = 4x^{3}$ y $f''(x) = 12x^{2}$ .

2. Intentamos con el criterio de la segunda. $f'(0) = 0$ y $f''(0) = 0$ : el criterio no dice nada.

3. Pasamos al criterio de la primera. $f'(-1) = -4$ y $f'(1) = 4$ : la derivada pasa de negativa a positiva.

4. Concluimos. Hay un mínimo en $x = 0$ , con $f(0) = 3$ . Cuando la segunda se anula hay que volver al primer criterio, que siempre funciona.

Respuesta: mínimo en $x = 0$ , aunque el criterio de la derivada segunda no decida

2. Clasificá el punto crítico de $f(x) = 4 - x^{4}$ en $x = 0$ .

Ver solución

1. Calculamos las derivadas. $f'(x) = -4x^{3}$ y $f''(x) = -12x^{2}$ .

2. Intentamos con la segunda. Las dos se anulan en $x = 0$ , así que el criterio no decide.

3. Usamos la primera. $f'(-1) = 4$ y $f'(1) = -4$ : pasa de positiva a negativa.

4. Concluimos. Hay un máximo en $x = 0$ , con $f(0) = 4$ . Es el mismo caso indeterminado que el anterior pero con el resultado opuesto: por eso el criterio no puede decidir solo.

Respuesta: máximo en $x = 0$

3. Clasificá el punto crítico de $f(x) = x^{3} + 6$ en $x = 0$ .

Ver solución

1. Calculamos las derivadas. $f'(x) = 3x^{2}$ y $f''(x) = 6x$ .

2. Intentamos con la segunda. $f'(0) = 0$ y $f''(0) = 0$ : otra vez el criterio no decide.

3. Usamos la primera. $f'(-1) = 3$ y $f'(1) = 3$ : la derivada es positiva de los dos lados y no cambia de signo.

4. Concluimos. No hay extremo. Hay una inflexión con tangente horizontal: la curva se aplana un instante y sigue subiendo. Este es el tercer caso posible.

Respuesta: no hay extremo en $x = 0$ : es una inflexión con tangente horizontal

4. Clasificá el punto crítico de $f(x) = (x - 3)^{4}$ en $x = 3$ .

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1. Derivamos dos veces. $f'(x) = 4(x - 3)^{3}$ y $f''(x) = 12(x - 3)^{2}$ .

2. Evaluamos en el crítico. $f'(3) = 0$ y $f''(3) = 0$ : el criterio de la derivada segunda no alcanza.

3. Estudiamos el signo de la primera. $(x - 3)^{3}$ es negativo a la izquierda de $3$ y positivo a la derecha, y $4$ es positivo.

4. Concluimos. La derivada pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo en $x = 3$ , con $f(3) = 0$ .

Respuesta: mínimo en $x = 3$

5. Clasificá el punto crítico de $f(x) = x^{4} + 6$ en $x = 0$ .

Ver solución

1. Calculamos las dos derivadas. $f'(x) = 4x^{3}$ y $f''(x) = 12x^{2}$ .

2. Intentamos con el criterio de la segunda. $f'(0) = 0$ y $f''(0) = 0$ : el criterio no dice nada.

3. Pasamos al criterio de la primera. $f'(-1) = -4$ y $f'(1) = 4$ : la derivada pasa de negativa a positiva.

4. Concluimos. Hay un mínimo en $x = 0$ , con $f(0) = 6$ . Cuando la segunda se anula hay que volver al primer criterio, que siempre funciona.

Respuesta: mínimo en $x = 0$ , aunque el criterio de la derivada segunda no decida

6. Clasificá el punto crítico de $f(x) = 7 - x^{4}$ en $x = 0$ .

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1. Calculamos las derivadas. $f'(x) = -4x^{3}$ y $f''(x) = -12x^{2}$ .

2. Intentamos con la segunda. Las dos se anulan en $x = 0$ , así que el criterio no decide.

3. Usamos la primera. $f'(-1) = 4$ y $f'(1) = -4$ : pasa de positiva a negativa.

4. Concluimos. Hay un máximo en $x = 0$ , con $f(0) = 7$ . Es el mismo caso indeterminado que el anterior pero con el resultado opuesto: por eso el criterio no puede decidir solo.

Respuesta: máximo en $x = 0$

7. Clasificá el punto crítico de $f(x) = x^{3} + 2$ en $x = 0$ .

Ver solución

1. Calculamos las derivadas. $f'(x) = 3x^{2}$ y $f''(x) = 6x$ .

2. Intentamos con la segunda. $f'(0) = 0$ y $f''(0) = 0$ : otra vez el criterio no decide.

3. Usamos la primera. $f'(-1) = 3$ y $f'(1) = 3$ : la derivada es positiva de los dos lados y no cambia de signo.

4. Concluimos. No hay extremo. Hay una inflexión con tangente horizontal: la curva se aplana un instante y sigue subiendo. Este es el tercer caso posible.

Respuesta: no hay extremo en $x = 0$ : es una inflexión con tangente horizontal

8. Clasificá el punto crítico de $f(x) = 5(x - 2)^{4}$ en $x = 2$ .

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1. Derivamos dos veces. $f'(x) = 20(x - 2)^{3}$ y $f''(x) = 60(x - 2)^{2}$ .

2. Evaluamos en el crítico. $f'(2) = 0$ y $f''(2) = 0$ : el criterio de la derivada segunda no alcanza.

3. Estudiamos el signo de la primera. $(x - 2)^{3}$ es negativo a la izquierda de $2$ y positivo a la derecha, y $20$ es positivo.

4. Concluimos. La derivada pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo en $x = 2$ , con $f(2) = 0$ .

Respuesta: mínimo en $x = 2$

9. Clasificá el punto crítico de $f(x) = x^{4} + 4$ en $x = 0$ .

Ver solución

1. Calculamos las dos derivadas. $f'(x) = 4x^{3}$ y $f''(x) = 12x^{2}$ .

2. Intentamos con el criterio de la segunda. $f'(0) = 0$ y $f''(0) = 0$ : el criterio no dice nada.

3. Pasamos al criterio de la primera. $f'(-1) = -4$ y $f'(1) = 4$ : la derivada pasa de negativa a positiva.

4. Concluimos. Hay un mínimo en $x = 0$ , con $f(0) = 4$ . Cuando la segunda se anula hay que volver al primer criterio, que siempre funciona.

Respuesta: mínimo en $x = 0$ , aunque el criterio de la derivada segunda no decida

10. Clasificá el punto crítico de $f(x) = 5 - x^{4}$ en $x = 0$ .

Ver solución

1. Calculamos las derivadas. $f'(x) = -4x^{3}$ y $f''(x) = -12x^{2}$ .

2. Intentamos con la segunda. Las dos se anulan en $x = 0$ , así que el criterio no decide.

3. Usamos la primera. $f'(-1) = 4$ y $f'(1) = -4$ : pasa de positiva a negativa.

4. Concluimos. Hay un máximo en $x = 0$ , con $f(0) = 5$ . Es el mismo caso indeterminado que el anterior pero con el resultado opuesto: por eso el criterio no puede decidir solo.

Respuesta: máximo en $x = 0$

11. Clasificá el punto crítico de $f(x) = x^{3} + 3$ en $x = 0$ .

Ver solución

1. Calculamos las derivadas. $f'(x) = 3x^{2}$ y $f''(x) = 6x$ .

2. Intentamos con la segunda. $f'(0) = 0$ y $f''(0) = 0$ : otra vez el criterio no decide.

3. Usamos la primera. $f'(-1) = 3$ y $f'(1) = 3$ : la derivada es positiva de los dos lados y no cambia de signo.

4. Concluimos. No hay extremo. Hay una inflexión con tangente horizontal: la curva se aplana un instante y sigue subiendo. Este es el tercer caso posible.

Respuesta: no hay extremo en $x = 0$ : es una inflexión con tangente horizontal

12. Clasificá el punto crítico de $f(x) = 3(x - 2)^{4}$ en $x = 2$ .

Ver solución

1. Derivamos dos veces. $f'(x) = 12(x - 2)^{3}$ y $f''(x) = 36(x - 2)^{2}$ .

2. Evaluamos en el crítico. $f'(2) = 0$ y $f''(2) = 0$ : el criterio de la derivada segunda no alcanza.

3. Estudiamos el signo de la primera. $(x - 2)^{3}$ es negativo a la izquierda de $2$ y positivo a la derecha, y $12$ es positivo.

4. Concluimos. La derivada pasa de negativa a positiva, así que hay un mínimo en $x = 2$ , con $f(2) = 0$ .

Respuesta: mínimo en $x = 2$

Integradores de Aplicaciones de la derivada: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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