Ejercicios: El criterio de la derivada segunda

f''(c)

0 \to

mínimo

f''(c)

0 \to

máximo

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Clasificá los puntos críticos de $f(x) = x^{3} - 3 x$ con el criterio de la derivada segunda.

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1. Hallamos los críticos. $f'(x) = 3 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)$ se anula en $x = -1$ y $x = 1$ .

2. Calculamos la derivada segunda. $f''(x) = 6 x$

3. Evaluamos en el primero. $f''(-1) = -6$ , negativa: cóncava hacia abajo, así que ese punto crítico es la cima de una cúpula y hay máximo.

4. Evaluamos en el segundo. $f''(1) = 6$ , positiva: hay mínimo. Alcanzó con dos evaluaciones, sin estudiar signos alrededor.

Respuesta: máximo en $x = -1$ y mínimo en $x = 1$

2. Clasificá el punto crítico de $f(x) = x^{2} - 14 x$ con los dos criterios y compará.

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1. Hallamos el crítico. $f'(x) = 2 x - 14$ , que se anula en $x = 7$ .

2. Aplicamos el criterio de la primera derivada. $f'(6) = -2$ y $f'(8) = 2$ : pasa de negativa a positiva, así que hay mínimo.

3. Aplicamos el de la segunda. $f''(x) = 2$ , siempre positiva, así que $f''(7) > 0$ y también da mínimo.

4. Comparamos. Los dos coinciden. El segundo es más rápido cuando la derivada segunda es fácil de calcular; el primero sirve siempre, incluso cuando la segunda se anula.

Respuesta: mínimo en $x = 7$ , con los dos criterios

3. Clasificá el punto crítico de $f(x) = xe^{-7x}$ con el criterio de la derivada segunda.

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1. Derivamos con la regla del producto. $f'(x) = e^{-7x}(1 - 7x)$

2. Hallamos el crítico. La exponencial nunca se anula, así que el único crítico es $x = \dfrac{1}{7}$ .

3. Calculamos la derivada segunda. $f''(x) = e^{-7x}(49x - 14)$

4. Evaluamos en el crítico. $f''\left(\dfrac{1}{7}\right) = e^{-1}(7 - 14) = -7e^{-1}$ , que es negativa: hay máximo local.

Respuesta: máximo local en $x = \dfrac{1}{7}$

4. Clasificá los dos puntos críticos de $f(x) = x^{3} - 48 x$ evaluando la derivada segunda.

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1. Hallamos los críticos. $f'(x) = 3 x^{2} - 48$ , que se anula en $x = 4$ y $x = -4$ .

2. Calculamos la derivada segunda. $f''(x) = 6 x$

3. Evaluamos en el negativo. $f''(-4) = -24$ , negativa: máximo local.

4. Evaluamos en el positivo. $f''(4) = 24$ , positiva: mínimo local. El signo de $f''$ en el crítico es todo lo que hace falta.

Respuesta: máximo en $x = -4$ y mínimo en $x = 4$

5. Clasificá los puntos críticos de $f(x) = x^{3} - \dfrac{21 x^{2}}{2} + 30 x$ con el criterio de la derivada segunda.

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1. Hallamos los críticos. $f'(x) = 3 \left(x - 5\right) \left(x - 2\right)$ se anula en $x = 2$ y $x = 5$ .

2. Calculamos la derivada segunda. $f''(x) = 6 x - 21$

3. Evaluamos en el primero. $f''(2) = -9$ , negativa: cóncava hacia abajo, así que ese punto crítico es la cima de una cúpula y hay máximo.

4. Evaluamos en el segundo. $f''(5) = 9$ , positiva: hay mínimo. Alcanzó con dos evaluaciones, sin estudiar signos alrededor.

Respuesta: máximo en $x = 2$ y mínimo en $x = 5$

6. Clasificá el punto crítico de $f(x) = x^{2} - 4 x$ con los dos criterios y compará.

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1. Hallamos el crítico. $f'(x) = 2 x - 4$ , que se anula en $x = 2$ .

2. Aplicamos el criterio de la primera derivada. $f'(1) = -2$ y $f'(3) = 2$ : pasa de negativa a positiva, así que hay mínimo.

3. Aplicamos el de la segunda. $f''(x) = 2$ , siempre positiva, así que $f''(2) > 0$ y también da mínimo.

4. Comparamos. Los dos coinciden. El segundo es más rápido cuando la derivada segunda es fácil de calcular; el primero sirve siempre, incluso cuando la segunda se anula.

Respuesta: mínimo en $x = 2$ , con los dos criterios

7. Clasificá el punto crítico de $f(x) = xe^{-2x}$ con el criterio de la derivada segunda.

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1. Derivamos con la regla del producto. $f'(x) = e^{-2x}(1 - 2x)$

2. Hallamos el crítico. La exponencial nunca se anula, así que el único crítico es $x = \dfrac{1}{2}$ .

3. Calculamos la derivada segunda. $f''(x) = e^{-2x}(4x - 4)$

4. Evaluamos en el crítico. $f''\left(\dfrac{1}{2}\right) = e^{-1}(2 - 4) = -2e^{-1}$ , que es negativa: hay máximo local.

Respuesta: máximo local en $x = \dfrac{1}{2}$

8. Clasificá los dos puntos críticos de $f(x) = x^{3} - 108 x$ evaluando la derivada segunda.

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1. Hallamos los críticos. $f'(x) = 3 x^{2} - 108$ , que se anula en $x = 6$ y $x = -6$ .

2. Calculamos la derivada segunda. $f''(x) = 6 x$

3. Evaluamos en el negativo. $f''(-6) = -36$ , negativa: máximo local.

4. Evaluamos en el positivo. $f''(6) = 36$ , positiva: mínimo local. El signo de $f''$ en el crítico es todo lo que hace falta.

Respuesta: máximo en $x = -6$ y mínimo en $x = 6$

9. Clasificá los puntos críticos de $f(x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x$ con el criterio de la derivada segunda.

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1. Hallamos los críticos. $f'(x) = 3 \left(x + 1\right) \left(x + 3\right)$ se anula en $x = -3$ y $x = -1$ .

2. Calculamos la derivada segunda. $f''(x) = 6 x + 12$

3. Evaluamos en el primero. $f''(-3) = -6$ , negativa: cóncava hacia abajo, así que ese punto crítico es la cima de una cúpula y hay máximo.

4. Evaluamos en el segundo. $f''(-1) = 6$ , positiva: hay mínimo. Alcanzó con dos evaluaciones, sin estudiar signos alrededor.

Respuesta: máximo en $x = -3$ y mínimo en $x = -1$

10. Clasificá el punto crítico de $f(x) = x^{2} - 12 x$ con los dos criterios y compará.

Ver solución

1. Hallamos el crítico. $f'(x) = 2 x - 12$ , que se anula en $x = 6$ .

2. Aplicamos el criterio de la primera derivada. $f'(5) = -2$ y $f'(7) = 2$ : pasa de negativa a positiva, así que hay mínimo.

3. Aplicamos el de la segunda. $f''(x) = 2$ , siempre positiva, así que $f''(6) > 0$ y también da mínimo.

4. Comparamos. Los dos coinciden. El segundo es más rápido cuando la derivada segunda es fácil de calcular; el primero sirve siempre, incluso cuando la segunda se anula.

Respuesta: mínimo en $x = 6$ , con los dos criterios

11. Clasificá el punto crítico de $f(x) = xe^{-5x}$ con el criterio de la derivada segunda.

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1. Derivamos con la regla del producto. $f'(x) = e^{-5x}(1 - 5x)$

2. Hallamos el crítico. La exponencial nunca se anula, así que el único crítico es $x = \dfrac{1}{5}$ .

3. Calculamos la derivada segunda. $f''(x) = e^{-5x}(25x - 10)$

4. Evaluamos en el crítico. $f''\left(\dfrac{1}{5}\right) = e^{-1}(5 - 10) = -5e^{-1}$ , que es negativa: hay máximo local.

Respuesta: máximo local en $x = \dfrac{1}{5}$

12. Clasificá los dos puntos críticos de $f(x) = x^{3} - 3 x$ evaluando la derivada segunda.

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1. Hallamos los críticos. $f'(x) = 3 x^{2} - 3$ , que se anula en $x = 1$ y $x = -1$ .

2. Calculamos la derivada segunda. $f''(x) = 6 x$

3. Evaluamos en el negativo. $f''(-1) = -6$ , negativa: máximo local.

4. Evaluamos en el positivo. $f''(1) = 6$ , positiva: mínimo local. El signo de $f''$ en el crítico es todo lo que hace falta.

Respuesta: máximo en $x = -1$ y mínimo en $x = 1$

Integradores de Aplicaciones de la derivada: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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