Método

Ejercicios: Puntos de inflexión

hay inflexión donde f′′f'' cambia de signo

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá los puntos de inflexión de f(x)=x3−24x2f(x) = x^{3} - 24 x^{2}.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=3x(x−16)f'(x) = 3 x \left(x - 16\right) y f′′(x)=6x−48f''(x) = 6 x - 48.

2. Buscamos los candidatos. 6x−48=06 x - 48 = 0 da x=8x = 8. La derivada segunda existe siempre, así que no hay otros candidatos.

3. Verificamos que el signo cambie. f′′(7)=−6f''(7) = -6 y f′′(9)=6f''(9) = 6: cambia de negativo a positivo.

4. Escribimos el punto completo. f(8)=−1024f(8) = -1024, así que la inflexión está en (8,−1024)(8, -1024).

Respuesta: hay inflexión en (8,−1024)(8, -1024)

2. Decidí si f(x)=x4+4f(x) = x^{4} + 4 tiene punto de inflexión en x=0x = 0.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=4x3f'(x) = 4x^{3} y f′′(x)=12x2f''(x) = 12 x^{2}.

2. Buscamos los candidatos. 12x2=012 x^{2} = 0 da x=0x = 0: es candidato.

3. Verificamos el cambio de signo. f′′(−1)=12f''(-1) = 12 y f′′(1)=12f''(1) = 12: la derivada segunda es positiva de los dos lados.

4. Concluimos. No hay inflexión: la concavidad es hacia arriba antes y después. Que f′′f'' se anule es condición necesaria pero no suficiente, y este es el error más común del tema.

Respuesta: no hay inflexión en x=0x = 0: la concavidad no cambia

3. Decidí si f(x)=x−23f(x) = \sqrt[3]{x - 2} tiene punto de inflexión en x=2x = 2.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=13(x−2)2/3f'(x) = \dfrac{1}{3(x - 2)^{2/3}} y f′′(x)=−29(x−2)5/3f''(x) = -\dfrac{2}{9(x - 2)^{5/3}}.

2. Vemos por qué x=2x = 2 es candidato. La derivada segunda no existe ahí, y esos puntos también son candidatos, no solo los ceros.

3. Estudiamos el signo alrededor. Para x<2x < 2 el denominador es negativo y f′′f'' es positiva; para x>2x > 2 es al revés.

4. Concluimos. La concavidad cambia de arriba a abajo, así que hay inflexión en (2,0)(2, 0), con tangente vertical.

Respuesta: sí, hay inflexión en (2,0)(2, 0)

4. Hallá los puntos de inflexión de f(x)=x4−12x2+1f(x) = x^{4} - 12 x^{2} + 1.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=4x(x2−6)f'(x) = 4 x \left(x^{2} - 6\right) y f′′(x)=12x2−24f''(x) = 12 x^{2} - 24.

2. Buscamos los candidatos. 12x2−24=012 x^{2} - 24 = 0 da x=2x = \sqrt{2} y x=−2x = - \sqrt{2}.

3. Verificamos los cambios de signo. f′′f'' es positiva antes de −2- \sqrt{2}, negativa entre las dos raíces y positiva después de 2\sqrt{2}: cambia en los dos.

4. Escribimos los puntos. f(−2)=−19f(- \sqrt{2}) = -19 y f(2)=−19f(\sqrt{2}) = -19.

Respuesta: inflexiones en (−2,−19)(- \sqrt{2}, -19) y (2,−19)(\sqrt{2}, -19)

5. Hallá los puntos de inflexión de f(x)=x3−9x2f(x) = x^{3} - 9 x^{2}.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=3x(x−6)f'(x) = 3 x \left(x - 6\right) y f′′(x)=6x−18f''(x) = 6 x - 18.

2. Buscamos los candidatos. 6x−18=06 x - 18 = 0 da x=3x = 3. La derivada segunda existe siempre, así que no hay otros candidatos.

3. Verificamos que el signo cambie. f′′(2)=−6f''(2) = -6 y f′′(4)=6f''(4) = 6: cambia de negativo a positivo.

4. Escribimos el punto completo. f(3)=−54f(3) = -54, así que la inflexión está en (3,−54)(3, -54).

Respuesta: hay inflexión en (3,−54)(3, -54)

6. Decidí si f(x)=x4+3f(x) = x^{4} + 3 tiene punto de inflexión en x=0x = 0.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=4x3f'(x) = 4x^{3} y f′′(x)=12x2f''(x) = 12 x^{2}.

2. Buscamos los candidatos. 12x2=012 x^{2} = 0 da x=0x = 0: es candidato.

3. Verificamos el cambio de signo. f′′(−1)=12f''(-1) = 12 y f′′(1)=12f''(1) = 12: la derivada segunda es positiva de los dos lados.

4. Concluimos. No hay inflexión: la concavidad es hacia arriba antes y después. Que f′′f'' se anule es condición necesaria pero no suficiente, y este es el error más común del tema.

Respuesta: no hay inflexión en x=0x = 0: la concavidad no cambia

7. Decidí si f(x)=x−43f(x) = \sqrt[3]{x - 4} tiene punto de inflexión en x=4x = 4.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=13(x−4)2/3f'(x) = \dfrac{1}{3(x - 4)^{2/3}} y f′′(x)=−29(x−4)5/3f''(x) = -\dfrac{2}{9(x - 4)^{5/3}}.

2. Vemos por qué x=4x = 4 es candidato. La derivada segunda no existe ahí, y esos puntos también son candidatos, no solo los ceros.

3. Estudiamos el signo alrededor. Para x<4x < 4 el denominador es negativo y f′′f'' es positiva; para x>4x > 4 es al revés.

4. Concluimos. La concavidad cambia de arriba a abajo, así que hay inflexión en (4,0)(4, 0), con tangente vertical.

Respuesta: sí, hay inflexión en (4,0)(4, 0)

8. Hallá los puntos de inflexión de f(x)=x4−24x2+1f(x) = x^{4} - 24 x^{2} + 1.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=4x(x2−12)f'(x) = 4 x \left(x^{2} - 12\right) y f′′(x)=12x2−48f''(x) = 12 x^{2} - 48.

2. Buscamos los candidatos. 12x2−48=012 x^{2} - 48 = 0 da x=2x = 2 y x=−2x = -2.

3. Verificamos los cambios de signo. f′′f'' es positiva antes de −2-2, negativa entre las dos raíces y positiva después de 22: cambia en los dos.

4. Escribimos los puntos. f(−2)=−79f(-2) = -79 y f(2)=−79f(2) = -79.

Respuesta: inflexiones en (−2,−79)(-2, -79) y (2,−79)(2, -79)

9. Hallá los puntos de inflexión de f(x)=x3−3x2f(x) = x^{3} - 3 x^{2}.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=3x(x−2)f'(x) = 3 x \left(x - 2\right) y f′′(x)=6x−6f''(x) = 6 x - 6.

2. Buscamos los candidatos. 6x−6=06 x - 6 = 0 da x=1x = 1. La derivada segunda existe siempre, así que no hay otros candidatos.

3. Verificamos que el signo cambie. f′′(0)=−6f''(0) = -6 y f′′(2)=6f''(2) = 6: cambia de negativo a positivo.

4. Escribimos el punto completo. f(1)=−2f(1) = -2, así que la inflexión está en (1,−2)(1, -2).

Respuesta: hay inflexión en (1,−2)(1, -2)

10. Decidí si f(x)=x4+7f(x) = x^{4} + 7 tiene punto de inflexión en x=0x = 0.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=4x3f'(x) = 4x^{3} y f′′(x)=12x2f''(x) = 12 x^{2}.

2. Buscamos los candidatos. 12x2=012 x^{2} = 0 da x=0x = 0: es candidato.

3. Verificamos el cambio de signo. f′′(−1)=12f''(-1) = 12 y f′′(1)=12f''(1) = 12: la derivada segunda es positiva de los dos lados.

4. Concluimos. No hay inflexión: la concavidad es hacia arriba antes y después. Que f′′f'' se anule es condición necesaria pero no suficiente, y este es el error más común del tema.

Respuesta: no hay inflexión en x=0x = 0: la concavidad no cambia

11. Decidí si f(x)=x−53f(x) = \sqrt[3]{x - 5} tiene punto de inflexión en x=5x = 5.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=13(x−5)2/3f'(x) = \dfrac{1}{3(x - 5)^{2/3}} y f′′(x)=−29(x−5)5/3f''(x) = -\dfrac{2}{9(x - 5)^{5/3}}.

2. Vemos por qué x=5x = 5 es candidato. La derivada segunda no existe ahí, y esos puntos también son candidatos, no solo los ceros.

3. Estudiamos el signo alrededor. Para x<5x < 5 el denominador es negativo y f′′f'' es positiva; para x>5x > 5 es al revés.

4. Concluimos. La concavidad cambia de arriba a abajo, así que hay inflexión en (5,0)(5, 0), con tangente vertical.

Respuesta: sí, hay inflexión en (5,0)(5, 0)

12. Hallá los puntos de inflexión de f(x)=x4−36x2+1f(x) = x^{4} - 36 x^{2} + 1.

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1. Derivamos dos veces. f′(x)=4x(x2−18)f'(x) = 4 x \left(x^{2} - 18\right) y f′′(x)=12x2−72f''(x) = 12 x^{2} - 72.

2. Buscamos los candidatos. 12x2−72=012 x^{2} - 72 = 0 da x=6x = \sqrt{6} y x=−6x = - \sqrt{6}.

3. Verificamos los cambios de signo. f′′f'' es positiva antes de −6- \sqrt{6}, negativa entre las dos raíces y positiva después de 6\sqrt{6}: cambia en los dos.

4. Escribimos los puntos. f(−6)=−179f(- \sqrt{6}) = -179 y f(6)=−179f(\sqrt{6}) = -179.

Respuesta: inflexiones en (−6,−179)(- \sqrt{6}, -179) y (6,−179)(\sqrt{6}, -179)

Integradores de Aplicaciones de la derivada: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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