Ejercicios: Concavidad

f''

0 \to

cóncava arriba

f''

0 \to

cóncava abajo

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá los intervalos de concavidad de $f(x) = x^{3} - 9 x^{2}$ .

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1. Derivamos dos veces. $f'(x) = 3 x \left(x - 6\right)$ y $f''(x) = 6 x - 18$ .

2. Buscamos dónde se anula la segunda. $6 x - 18 = 0$ da $x = 3$ .

3. Estudiamos el signo. $f''(2) = -6$ y $f''(4) = 6$ .

4. Traducimos el signo a concavidad. Derivada segunda negativa es cóncava hacia abajo, forma de cúpula; positiva es cóncava hacia arriba, forma de recipiente.

Respuesta: cóncava hacia abajo en $(-\infty, 3)$ y hacia arriba en $(3, +\infty)$

2. Estudiá la concavidad de $f(x) = 4\ln x$ .

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1. Escribimos el dominio. El logaritmo existe para $x > 0$ .

2. Derivamos dos veces. $f'(x) = \dfrac{4}{x}$ y $f''(x) = -\dfrac{4}{x^{2}}$ .

3. Estudiamos el signo de la segunda. $x^{2}$ es positivo y $4$ también, así que con el menos adelante $f''(x) < 0$ en todo el dominio.

4. Concluimos. Es cóncava hacia abajo en todo su dominio, sin puntos de inflexión: por eso el gráfico del logaritmo se va aplanando aunque nunca deje de crecer.

Respuesta: cóncava hacia abajo en todo $(0, +\infty)$

3. Para $f(x) = 2 x^{3} - 6 x^{2}$ , mostrá que la concavidad hacia arriba coincide con que $f'$ sea creciente.

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1. Calculamos las dos derivadas. $f'(x) = 6 x \left(x - 2\right)$ y $f''(x) = 12 x - 12$ .

2. Estudiamos dónde $f''$ es positiva. $12 x - 12 > 0$ equivale a $x > 1$ : ahí $f$ es cóncava hacia arriba.

3. Estudiamos dónde crece $f'$ . $f'$ es una función y su derivada es $f''$ , así que $f'$ crece exactamente donde $f'' > 0$ , o sea para $x > 1$ .

4. Interpretamos. Los dos conjuntos coinciden porque son la misma condición leída de dos maneras: concavidad hacia arriba es pendiente que va aumentando.

Respuesta: las dos cosas pasan en $(1, +\infty)$

4. Hallá los intervalos de concavidad de $f(x) = x^{4} - 36 x^{2}$ .

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1. Derivamos dos veces. $f'(x) = 4 x \left(x^{2} - 18\right)$ y $f''(x) = 12 x^{2} - 72$ .

2. Buscamos los ceros de la segunda. $12 x^{2} - 72 = 0$ da $x = \sqrt{6}$ y $x = - \sqrt{6}$ .

3. Estudiamos los tres tramos. $f''(- \sqrt{6} - 1) > 0$ , $f''(0) = -72 < 0$ y $f''(1 + \sqrt{6}) > 0$ .

4. Escribimos la conclusión. La curva es un recipiente en los extremos y una cúpula en el medio, y cambia dos veces.

Respuesta: cóncava hacia arriba en $(-\infty, - \sqrt{6})$ y $(\sqrt{6}, +\infty)$ , y hacia abajo en $(- \sqrt{6}, \sqrt{6})$

5. Hallá los intervalos de concavidad de $f(x) = 2 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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1. Derivamos dos veces. $f'(x) = 6 x \left(x - 4\right)$ y $f''(x) = 12 x - 24$ .

2. Buscamos dónde se anula la segunda. $12 x - 24 = 0$ da $x = 2$ .

3. Estudiamos el signo. $f''(1) = -12$ y $f''(3) = 12$ .

4. Traducimos el signo a concavidad. Derivada segunda negativa es cóncava hacia abajo, forma de cúpula; positiva es cóncava hacia arriba, forma de recipiente.

Respuesta: cóncava hacia abajo en $(-\infty, 2)$ y hacia arriba en $(2, +\infty)$

6. Estudiá la concavidad de $f(x) = 2\ln x$ .

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1. Escribimos el dominio. El logaritmo existe para $x > 0$ .

2. Derivamos dos veces. $f'(x) = \dfrac{2}{x}$ y $f''(x) = -\dfrac{2}{x^{2}}$ .

3. Estudiamos el signo de la segunda. $x^{2}$ es positivo y $2$ también, así que con el menos adelante $f''(x) < 0$ en todo el dominio.

4. Concluimos. Es cóncava hacia abajo en todo su dominio, sin puntos de inflexión: por eso el gráfico del logaritmo se va aplanando aunque nunca deje de crecer.

Respuesta: cóncava hacia abajo en todo $(0, +\infty)$

7. Para $f(x) = x^{3} - 2 x^{2}$ , mostrá que la concavidad hacia arriba coincide con que $f'$ sea creciente.

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1. Calculamos las dos derivadas. $f'(x) = x \left(3 x - 4\right)$ y $f''(x) = 6 x - 4$ .

2. Estudiamos dónde $f''$ es positiva. $6 x - 4 > 0$ equivale a $x > \dfrac{2}{3}$ : ahí $f$ es cóncava hacia arriba.

3. Estudiamos dónde crece $f'$ . $f'$ es una función y su derivada es $f''$ , así que $f'$ crece exactamente donde $f'' > 0$ , o sea para $x > \dfrac{2}{3}$ .

4. Interpretamos. Los dos conjuntos coinciden porque son la misma condición leída de dos maneras: concavidad hacia arriba es pendiente que va aumentando.

Respuesta: las dos cosas pasan en $(\dfrac{2}{3}, +\infty)$

8. Hallá los intervalos de concavidad de $f(x) = x^{4} - 12 x^{2}$ .

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1. Derivamos dos veces. $f'(x) = 4 x \left(x^{2} - 6\right)$ y $f''(x) = 12 x^{2} - 24$ .

2. Buscamos los ceros de la segunda. $12 x^{2} - 24 = 0$ da $x = \sqrt{2}$ y $x = - \sqrt{2}$ .

3. Estudiamos los tres tramos. $f''(- \sqrt{2} - 1) > 0$ , $f''(0) = -24 < 0$ y $f''(1 + \sqrt{2}) > 0$ .

4. Escribimos la conclusión. La curva es un recipiente en los extremos y una cúpula en el medio, y cambia dos veces.

Respuesta: cóncava hacia arriba en $(-\infty, - \sqrt{2})$ y $(\sqrt{2}, +\infty)$ , y hacia abajo en $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

9. Hallá los intervalos de concavidad de $f(x) = 2 x^{3} - 6 x^{2}$ .

Ver solución

1. Derivamos dos veces. $f'(x) = 6 x \left(x - 2\right)$ y $f''(x) = 12 x - 12$ .

2. Buscamos dónde se anula la segunda. $12 x - 12 = 0$ da $x = 1$ .

3. Estudiamos el signo. $f''(0) = -12$ y $f''(2) = 12$ .

4. Traducimos el signo a concavidad. Derivada segunda negativa es cóncava hacia abajo, forma de cúpula; positiva es cóncava hacia arriba, forma de recipiente.

Respuesta: cóncava hacia abajo en $(-\infty, 1)$ y hacia arriba en $(1, +\infty)$

10. Estudiá la concavidad de $f(x) = 3\ln x$ .

Ver solución

1. Escribimos el dominio. El logaritmo existe para $x > 0$ .

2. Derivamos dos veces. $f'(x) = \dfrac{3}{x}$ y $f''(x) = -\dfrac{3}{x^{2}}$ .

3. Estudiamos el signo de la segunda. $x^{2}$ es positivo y $3$ también, así que con el menos adelante $f''(x) < 0$ en todo el dominio.

4. Concluimos. Es cóncava hacia abajo en todo su dominio, sin puntos de inflexión: por eso el gráfico del logaritmo se va aplanando aunque nunca deje de crecer.

Respuesta: cóncava hacia abajo en todo $(0, +\infty)$

11. Para $f(x) = 3 x^{3} - 12 x^{2}$ , mostrá que la concavidad hacia arriba coincide con que $f'$ sea creciente.

Ver solución

1. Calculamos las dos derivadas. $f'(x) = 3 x \left(3 x - 8\right)$ y $f''(x) = 18 x - 24$ .

2. Estudiamos dónde $f''$ es positiva. $18 x - 24 > 0$ equivale a $x > \dfrac{4}{3}$ : ahí $f$ es cóncava hacia arriba.

3. Estudiamos dónde crece $f'$ . $f'$ es una función y su derivada es $f''$ , así que $f'$ crece exactamente donde $f'' > 0$ , o sea para $x > \dfrac{4}{3}$ .

4. Interpretamos. Los dos conjuntos coinciden porque son la misma condición leída de dos maneras: concavidad hacia arriba es pendiente que va aumentando.

Respuesta: las dos cosas pasan en $(\dfrac{4}{3}, +\infty)$

12. Hallá los intervalos de concavidad de $f(x) = x^{4} - 24 x^{2}$ .

Ver solución

1. Derivamos dos veces. $f'(x) = 4 x \left(x^{2} - 12\right)$ y $f''(x) = 12 x^{2} - 48$ .

2. Buscamos los ceros de la segunda. $12 x^{2} - 48 = 0$ da $x = 2$ y $x = -2$ .

3. Estudiamos los tres tramos. $f''(-3) > 0$ , $f''(0) = -48 < 0$ y $f''(3) > 0$ .

4. Escribimos la conclusión. La curva es un recipiente en los extremos y una cúpula en el medio, y cambia dos veces.

Respuesta: cóncava hacia arriba en $(-\infty, -2)$ y $(2, +\infty)$ , y hacia abajo en $(-2, 2)$

Integradores de Aplicaciones de la derivada: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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