Método

Concavidad

La concavidad describe cómo se curva el gráfico. Es cóncava hacia arriba cuando tiene forma de recipiente y cóncava hacia abajo cuando tiene forma de cúpula.

Lo decide el signo de la derivada segunda. Si es positiva, la concavidad es hacia arriba; si es negativa, hacia abajo.

La razón es que la derivada segunda mide cómo cambia la derivada primera. Si la pendiente va aumentando, la curva se va enderezando hacia arriba y queda con forma de recipiente.

Es importante no confundir concavidad con crecimiento. Son independientes: una función puede crecer siendo cóncava hacia arriba, creciendo cada vez más rápido, o crecer siendo cóncava hacia abajo, creciendo cada vez más despacio. Las cuatro combinaciones existen.

El estudio se hace igual que el del crecimiento pero con la derivada segunda: se buscan sus raíces, se arma la recta de signos y se evalúa por tramos.

f′′f'' > 0→0 \to cóncava arriba f′′f'' < 0→0 \to cóncava abajo
Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide concavidad, puntos de inflexión o el estudio completo. Derivá dos veces y estudiá el signo de la segunda igual que estudiaste el de la primera.

Ejemplo 1

Estudiar la concavidad de f(x)=x3−3x2+1f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1.

Derivamos dos veces. f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^{2} - 6x y f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
Igualamos la segunda a cero. 6x−6=06x - 6 = 0, entonces x=1x = 1.
Probamos un valor a cada lado. f′′(0)=−6<0f''(0) = -6 < 0 y f′′(2)=6>0f''(2) = 6 > 0.
Traducimos. A la izquierda de 11 es cóncava hacia abajo, y a la derecha hacia arriba.
Respuesta: cóncava hacia abajo en (−∞,1)(-\infty, 1) y hacia arriba en (1,+∞)(1, +\infty )

Ejemplo 2

Estudiar la concavidad de f(x)=exf(x) = e^{x} y de f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x.

Derivamos la exponencial dos veces. f′=exf' = e^{x} y f′′=exf'' = e^{x}.
Analizamos su signo. La exponencial es siempre positiva, así que f′′>0f'' > 0 en todo el dominio.
Derivamos el logaritmo dos veces. f′=1/x=x−1f' = 1/x = x^{-1} y f′′=−x−2=−1/x2f'' = -x^{-2} = -1/x^{2}.
Analizamos su signo. El dominio es x>0x > 0, y ahí 1/x21/x^{2} es positivo, así que −1/x2-1/x^{2} es negativo siempre.
Respuesta: exe^{x} es cóncava hacia arriba en todo R\mathbb{R}; ln⁡x\ln x es cóncava hacia abajo en todo su dominio

Error típico

Confundir cóncava hacia arriba con creciente. La parábola x2x^{2} es cóncava hacia arriba en todo su dominio, y sin embargo decrece a la izquierda del vértice.

Practicar

← Rolle y el valor medioPuntos de inflexión →

Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

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