Método

El criterio de la derivada segunda

Este criterio clasifica un punto crítico evaluando la derivada segunda ahí, sin necesidad de estudiar signos alrededor.

Si la derivada segunda es negativa, la curva es cóncava hacia abajo en ese punto, así que el punto crítico es la cima de una cúpula: hay máximo. Si es positiva, es el fondo de un recipiente: hay mínimo.

La ventaja es la rapidez: alcanza con una evaluación, sin armar recta de signos ni probar puntos de los costados.

La desventaja es que no siempre sirve. Si la derivada segunda también se anula en el punto crítico, el criterio no decide nada y hay que recurrir al de la primera derivada.

Tampoco sirve donde la derivada primera no existe, porque ahí no hay derivada segunda para evaluar.

En la práctica conviene usarlo cuando hay pocos puntos críticos y la derivada segunda es fácil de calcular. Si se está haciendo un estudio completo, el criterio de la primera derivada sale gratis y conviene más.

f′′(c)f''(c) > 0→0 \to mínimo f′′(c)f''(c) < 0→0 \to máximo
Cuándo se usa

Cuando hay que clasificar un punto crítico rápido y la derivada segunda es sencilla. Si al evaluar da cero, el criterio no decide y hay que usar el de la primera derivada.

Ejemplo 1

Clasificar los críticos de f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3x con el criterio de la segunda.

Derivamos y hallamos los críticos. f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^{2} - 3, que se anula en x=±1x = \pm 1.
Calculamos la derivada segunda. f′′(x)=6xf''(x) = 6x
Evaluamos en el primer crítico. f′′(−1)=−6<0f''(-1) = -6 < 0: máximo local. f(−1)=−1+3=2f(-1) = -1 + 3 = 2.
Evaluamos en el segundo. f′′(1)=6>0f''(1) = 6 > 0: mínimo local. f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2.
Respuesta: máximo en (−1,2)(-1, 2) y mínimo en (1,−2)(1, -2)

Ejemplo 2

Clasificar los críticos de f(x)=x4−8x2f(x) = x^{4} - 8x^{2}.

Derivamos y hallamos los críticos. f′(x)=4x3−16x=4x(x−2)(x+2)f'(x) = 4x^{3} - 16x = 4x(x-2)(x+2), con raíces x=0,2,−2x = 0, 2, -2.
Calculamos la segunda. f′′(x)=12x2−16f''(x) = 12x^{2} - 16
Evaluamos en cada crítico. f′′(0)=−16<0f''(0) = -16 < 0, f′′(2)=32>0f''(2) = 32 > 0, f′′(−2)=32>0f''(-2) = 32 > 0.
Traducimos y calculamos las ordenadas. Máximo en x=0x = 0 con f(0)=0f(0) = 0; mínimos en x=±2x = \pm 2 con f(±2)=16−32=−16f(\pm 2) = 16 - 32 = -16.
Respuesta: máximo en (0,0)(0, 0) y mínimos en (2,−16)(2, -16) y (−2,−16)(-2, -16)

Error típico

Usar el criterio cuando f′′(c)=0f''(c) = 0 y concluir que no hay extremo. El criterio no concluye nada en ese caso: hay que cambiar de método, no dar por cerrado el análisis.

Practicar

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Otros subtemas de Aplicaciones de la derivada

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