Ejercicios: Rolle y el valor medio

f(a) = f(b)

, existe c en (a, b) con

f'(c) = 0

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Verificá las hipótesis de Rolle para $f(x) = x^{2} - 2 x$ en $[0, 2]$ y hallá el $c$ que garantiza.

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1. Chequeamos continuidad y derivabilidad. Es un polinomio: continuo en $[0, 2]$ y derivable en $(0, 2)$ .

2. Chequeamos los valores en los extremos. $f(0) = 0$ y $f(2) = 0$ : son iguales, así que se cumple la tercera hipótesis.

3. Aplicamos el teorema. Rolle garantiza que existe $c$ en $(0, 2)$ con $f'(c) = 0$ .

4. Hallamos ese $c$ . $f'(x) = 2 x - 2$ , que se anula en $x = 1$ , efectivamente adentro del intervalo. El teorema garantiza que existe, y acá además lo encontramos.

Respuesta: $c = 1$

2. Hallá el $c$ del teorema del valor medio para $f(x) = x^{2}$ en $[1, 5]$ .

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1. Escribimos qué dice el teorema. Existe $c$ en $(1, 5)$ tal que $f'(c) = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1}$ : la tangente en ese punto es paralela a la secante.

2. Calculamos la pendiente de la secante. $\dfrac{25 - 1}{4} = 6$

3. Planteamos la ecuación. $f'(x) = 2x$ , así que $2c = 6$ .

4. Despejamos. $c = 3$ , que está adentro del intervalo. Es justo el punto medio, algo que pasa siempre con las parábolas.

Respuesta: $c = 3$

3. Decidí si se puede aplicar Rolle a $f(x) = |x|$ en $[-7, 7]$ .

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1. Chequeamos la continuidad. El valor absoluto es continuo en todos los reales, también en $[-7, 7]$ .

2. Chequeamos los valores en los extremos. $f(-7) = 7$ y $f(7) = 7$ : coinciden.

3. Chequeamos la derivabilidad. En $x = 0$ , que está adentro del intervalo, la derivada no existe: hay un pico.

4. Concluimos. Falta una hipótesis, así que el teorema no se aplica. Y de hecho la conclusión es falsa: la derivada vale $-1$ o $1$ y nunca se anula.

Respuesta: no se puede: no es derivable en $x = 0$

4. Sabiendo que $f$ es derivable y que $|f'(x)| \leq 4$ para todo $x$ , acotá $|f(5) - f(0)|$ .

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1. Aplicamos el teorema del valor medio. Existe $c$ entre $0$ y $5$ con $f(5) - f(0) = f'(c)(5 - 0)$ .

2. Tomamos módulo. $|f(5) - f(0)| = |f'(c)| \cdot 5$

3. Usamos la cota de la derivada. Como $|f'(c)| \leq 4$ , queda $|f(5) - f(0)| \leq 4 \cdot 5 = 20$ .

4. Interpretamos. Sin conocer la fórmula de $f$ , una cota de su derivada alcanza para acotar cuánto puede cambiar. Es el uso más habitual del teorema.

Respuesta: $|f(5) - f(0)| \leq 20$

5. Verificá las hipótesis de Rolle para $f(x) = x^{2} - 4 x$ en $[0, 4]$ y hallá el $c$ que garantiza.

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1. Chequeamos continuidad y derivabilidad. Es un polinomio: continuo en $[0, 4]$ y derivable en $(0, 4)$ .

2. Chequeamos los valores en los extremos. $f(0) = 0$ y $f(4) = 0$ : son iguales, así que se cumple la tercera hipótesis.

3. Aplicamos el teorema. Rolle garantiza que existe $c$ en $(0, 4)$ con $f'(c) = 0$ .

4. Hallamos ese $c$ . $f'(x) = 2 x - 4$ , que se anula en $x = 2$ , efectivamente adentro del intervalo. El teorema garantiza que existe, y acá además lo encontramos.

Respuesta: $c = 2$

6. Hallá el $c$ del teorema del valor medio para $f(x) = x^{2}$ en $[0, 3]$ .

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1. Escribimos qué dice el teorema. Existe $c$ en $(0, 3)$ tal que $f'(c) = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0}$ : la tangente en ese punto es paralela a la secante.

2. Calculamos la pendiente de la secante. $\dfrac{9 - 0}{3} = 3$

3. Planteamos la ecuación. $f'(x) = 2x$ , así que $2c = 3$ .

4. Despejamos. $c = \dfrac{3}{2}$ , que está adentro del intervalo. Es justo el punto medio, algo que pasa siempre con las parábolas.

Respuesta: $c = \dfrac{3}{2}$

7. Decidí si se puede aplicar Rolle a $f(x) = |x|$ en $[-4, 4]$ .

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1. Chequeamos la continuidad. El valor absoluto es continuo en todos los reales, también en $[-4, 4]$ .

2. Chequeamos los valores en los extremos. $f(-4) = 4$ y $f(4) = 4$ : coinciden.

3. Chequeamos la derivabilidad. En $x = 0$ , que está adentro del intervalo, la derivada no existe: hay un pico.

4. Concluimos. Falta una hipótesis, así que el teorema no se aplica. Y de hecho la conclusión es falsa: la derivada vale $-1$ o $1$ y nunca se anula.

Respuesta: no se puede: no es derivable en $x = 0$

8. Sabiendo que $f$ es derivable y que $|f'(x)| \leq 3$ para todo $x$ , acotá $|f(2) - f(0)|$ .

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1. Aplicamos el teorema del valor medio. Existe $c$ entre $0$ y $2$ con $f(2) - f(0) = f'(c)(2 - 0)$ .

2. Tomamos módulo. $|f(2) - f(0)| = |f'(c)| \cdot 2$

3. Usamos la cota de la derivada. Como $|f'(c)| \leq 3$ , queda $|f(2) - f(0)| \leq 3 \cdot 2 = 6$ .

4. Interpretamos. Sin conocer la fórmula de $f$ , una cota de su derivada alcanza para acotar cuánto puede cambiar. Es el uso más habitual del teorema.

Respuesta: $|f(2) - f(0)| \leq 6$

9. Verificá las hipótesis de Rolle para $f(x) = x^{2} - 5 x$ en $[0, 5]$ y hallá el $c$ que garantiza.

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1. Chequeamos continuidad y derivabilidad. Es un polinomio: continuo en $[0, 5]$ y derivable en $(0, 5)$ .

2. Chequeamos los valores en los extremos. $f(0) = 0$ y $f(5) = 0$ : son iguales, así que se cumple la tercera hipótesis.

3. Aplicamos el teorema. Rolle garantiza que existe $c$ en $(0, 5)$ con $f'(c) = 0$ .

4. Hallamos ese $c$ . $f'(x) = 2 x - 5$ , que se anula en $x = \dfrac{5}{2}$ , efectivamente adentro del intervalo. El teorema garantiza que existe, y acá además lo encontramos.

Respuesta: $c = \dfrac{5}{2}$

10. Hallá el $c$ del teorema del valor medio para $f(x) = x^{2}$ en $[1, 4]$ .

Ver solución

1. Escribimos qué dice el teorema. Existe $c$ en $(1, 4)$ tal que $f'(c) = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1}$ : la tangente en ese punto es paralela a la secante.

2. Calculamos la pendiente de la secante. $\dfrac{16 - 1}{3} = 5$

3. Planteamos la ecuación. $f'(x) = 2x$ , así que $2c = 5$ .

4. Despejamos. $c = \dfrac{5}{2}$ , que está adentro del intervalo. Es justo el punto medio, algo que pasa siempre con las parábolas.

Respuesta: $c = \dfrac{5}{2}$

11. Decidí si se puede aplicar Rolle a $f(x) = |x|$ en $[-5, 5]$ .

Ver solución

1. Chequeamos la continuidad. El valor absoluto es continuo en todos los reales, también en $[-5, 5]$ .

2. Chequeamos los valores en los extremos. $f(-5) = 5$ y $f(5) = 5$ : coinciden.

3. Chequeamos la derivabilidad. En $x = 0$ , que está adentro del intervalo, la derivada no existe: hay un pico.

4. Concluimos. Falta una hipótesis, así que el teorema no se aplica. Y de hecho la conclusión es falsa: la derivada vale $-1$ o $1$ y nunca se anula.

Respuesta: no se puede: no es derivable en $x = 0$

12. Sabiendo que $f$ es derivable y que $|f'(x)| \leq 5$ para todo $x$ , acotá $|f(3) - f(0)|$ .

Ver solución

1. Aplicamos el teorema del valor medio. Existe $c$ entre $0$ y $3$ con $f(3) - f(0) = f'(c)(3 - 0)$ .

2. Tomamos módulo. $|f(3) - f(0)| = |f'(c)| \cdot 3$

3. Usamos la cota de la derivada. Como $|f'(c)| \leq 5$ , queda $|f(3) - f(0)| \leq 5 \cdot 3 = 15$ .

4. Interpretamos. Sin conocer la fórmula de $f$ , una cota de su derivada alcanza para acotar cuánto puede cambiar. Es el uso más habitual del teorema.

Respuesta: $|f(3) - f(0)| \leq 15$

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