Ejercicios: Leer el gráfico de $f'$

altura de

f' =

pendiente de

f f'

cruza el eje

\to

crítico

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. De una función derivable solo se sabe que $f'(x) = (x - 1)(x - 4)$ . Hallá dónde crece y dónde decrece $f$ .

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1. Recordamos la regla. El signo de la derivada decide el crecimiento: positiva es crecer, negativa decrecer.

2. Buscamos los ceros de $f'$ . Se anula en $x = 1$ y $x = 4$ , que parten la recta en tres tramos.

3. Estudiamos el signo del producto. Antes de $1$ los dos factores son negativos y el producto positivo; entre las raíces tienen signos distintos y el producto es negativo; después de $4$ los dos son positivos.

4. Traducimos. No hace falta conocer $f$ : con la fórmula de la derivada alcanza para describir el crecimiento de la original.

Respuesta: $f$ crece en $(-\infty, 1)$ y $(4, +\infty)$ , y decrece en $(1, 4)$

2. Sabiendo que $f'(x) = (x + 2)(x - 3)$ , clasificá los puntos críticos de $f$ .

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1. Ubicamos los puntos críticos. Son los ceros de la derivada: $x = -2$ y $x = 3$ .

2. Miramos cómo cruza el signo en el primero. A la izquierda de $-2$ el producto es positivo y a la derecha negativo: la derivada cruza de arriba hacia abajo.

3. Clasificamos ese punto. $f$ venía creciendo y empieza a decrecer, así que hay un máximo local en $x = -2$ .

4. Repetimos en el segundo. En $x = 3$ la derivada cruza de abajo hacia arriba, así que hay un mínimo local. El sentido del cruce es lo que clasifica.

Respuesta: máximo local en $x = -2$ y mínimo local en $x = 3$

3. Sabiendo que $f'(x) = 3 x^{2} - 12$ , hallá los intervalos de concavidad de $f$ .

Ver solución

1. Vemos qué hace falta. La concavidad de $f$ la decide $f''$ , que es la derivada de lo que nos dieron.

2. Derivamos el dato. $f''(x) = 6 x$

3. Estudiamos su signo. $6 x > 0$ para $x > 0$ y negativa para $x < 0$ .

4. Traducimos. $f$ es cóncava hacia abajo en $(-\infty, 0)$ y hacia arriba en $(0, +\infty)$ , con inflexión en $x = 0$ . Notá que ahí $f'$ alcanza su mínimo.

Respuesta: cóncava hacia abajo en $(-\infty, 0)$ y hacia arriba en $(0, +\infty)$

4. Sabiendo que $f'(x) > 0$ para todo $x$ en $[1, 4]$ , decidí si $f(4)$ es mayor o menor que $f(1)$ .

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1. Interpretamos el dato. Derivada positiva en todo el intervalo significa que $f$ crece en todo el intervalo.

2. Usamos el teorema del valor medio. $f(4) - f(1) = f'(c)(4 - 1)$ para algún $c$ del interior.

3. Analizamos los dos factores. $f'(c) > 0$ por el dato, y $4 - 1 = 3 > 0$ .

4. Concluimos. El producto es positivo, así que $f(4) > f(1)$ . No hace falta conocer $f$ ni calcular ningún valor.

Respuesta: $f(4) > f(1)$

5. De una función derivable solo se sabe que $f'(x) = (x + 0)(x - 5)$ . Hallá dónde crece y dónde decrece $f$ .

Ver solución

1. Recordamos la regla. El signo de la derivada decide el crecimiento: positiva es crecer, negativa decrecer.

2. Buscamos los ceros de $f'$ . Se anula en $x = 0$ y $x = 5$ , que parten la recta en tres tramos.

3. Estudiamos el signo del producto. Antes de $0$ los dos factores son negativos y el producto positivo; entre las raíces tienen signos distintos y el producto es negativo; después de $5$ los dos son positivos.

4. Traducimos. No hace falta conocer $f$ : con la fórmula de la derivada alcanza para describir el crecimiento de la original.

Respuesta: $f$ crece en $(-\infty, 0)$ y $(5, +\infty)$ , y decrece en $(0, 5)$

6. Sabiendo que $f'(x) = (x - 1)(x - 4)$ , clasificá los puntos críticos de $f$ .

Ver solución

1. Ubicamos los puntos críticos. Son los ceros de la derivada: $x = 1$ y $x = 4$ .

2. Miramos cómo cruza el signo en el primero. A la izquierda de $1$ el producto es positivo y a la derecha negativo: la derivada cruza de arriba hacia abajo.

3. Clasificamos ese punto. $f$ venía creciendo y empieza a decrecer, así que hay un máximo local en $x = 1$ .

4. Repetimos en el segundo. En $x = 4$ la derivada cruza de abajo hacia arriba, así que hay un mínimo local. El sentido del cruce es lo que clasifica.

Respuesta: máximo local en $x = 1$ y mínimo local en $x = 4$

7. Sabiendo que $f'(x) = 3 x^{2} - 48$ , hallá los intervalos de concavidad de $f$ .

Ver solución

1. Vemos qué hace falta. La concavidad de $f$ la decide $f''$ , que es la derivada de lo que nos dieron.

2. Derivamos el dato. $f''(x) = 6 x$

3. Estudiamos su signo. $6 x > 0$ para $x > 0$ y negativa para $x < 0$ .

4. Traducimos. $f$ es cóncava hacia abajo en $(-\infty, 0)$ y hacia arriba en $(0, +\infty)$ , con inflexión en $x = 0$ . Notá que ahí $f'$ alcanza su mínimo.

Respuesta: cóncava hacia abajo en $(-\infty, 0)$ y hacia arriba en $(0, +\infty)$

8. Sabiendo que $f'(x) > 0$ para todo $x$ en $[0, 3]$ , decidí si $f(3)$ es mayor o menor que $f(0)$ .

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1. Interpretamos el dato. Derivada positiva en todo el intervalo significa que $f$ crece en todo el intervalo.

2. Usamos el teorema del valor medio. $f(3) - f(0) = f'(c)(3 - 0)$ para algún $c$ del interior.

3. Analizamos los dos factores. $f'(c) > 0$ por el dato, y $3 - 0 = 3 > 0$ .

4. Concluimos. El producto es positivo, así que $f(3) > f(0)$ . No hace falta conocer $f$ ni calcular ningún valor.

Respuesta: $f(3) > f(0)$

9. De una función derivable solo se sabe que $f'(x) = (x + 3)(x - 1)$ . Hallá dónde crece y dónde decrece $f$ .

Ver solución

1. Recordamos la regla. El signo de la derivada decide el crecimiento: positiva es crecer, negativa decrecer.

2. Buscamos los ceros de $f'$ . Se anula en $x = -3$ y $x = 1$ , que parten la recta en tres tramos.

3. Estudiamos el signo del producto. Antes de $-3$ los dos factores son negativos y el producto positivo; entre las raíces tienen signos distintos y el producto es negativo; después de $1$ los dos son positivos.

4. Traducimos. No hace falta conocer $f$ : con la fórmula de la derivada alcanza para describir el crecimiento de la original.

Respuesta: $f$ crece en $(-\infty, -3)$ y $(1, +\infty)$ , y decrece en $(-3, 1)$

10. Sabiendo que $f'(x) = (x + 3)(x - 1)$ , clasificá los puntos críticos de $f$ .

Ver solución

1. Ubicamos los puntos críticos. Son los ceros de la derivada: $x = -3$ y $x = 1$ .

2. Miramos cómo cruza el signo en el primero. A la izquierda de $-3$ el producto es positivo y a la derecha negativo: la derivada cruza de arriba hacia abajo.

3. Clasificamos ese punto. $f$ venía creciendo y empieza a decrecer, así que hay un máximo local en $x = -3$ .

4. Repetimos en el segundo. En $x = 1$ la derivada cruza de abajo hacia arriba, así que hay un mínimo local. El sentido del cruce es lo que clasifica.

Respuesta: máximo local en $x = -3$ y mínimo local en $x = 1$

11. Sabiendo que $f'(x) = 3 x^{2} - 75$ , hallá los intervalos de concavidad de $f$ .

Ver solución

1. Vemos qué hace falta. La concavidad de $f$ la decide $f''$ , que es la derivada de lo que nos dieron.

2. Derivamos el dato. $f''(x) = 6 x$

3. Estudiamos su signo. $6 x > 0$ para $x > 0$ y negativa para $x < 0$ .

4. Traducimos. $f$ es cóncava hacia abajo en $(-\infty, 0)$ y hacia arriba en $(0, +\infty)$ , con inflexión en $x = 0$ . Notá que ahí $f'$ alcanza su mínimo.

Respuesta: cóncava hacia abajo en $(-\infty, 0)$ y hacia arriba en $(0, +\infty)$

12. Sabiendo que $f'(x) > 0$ para todo $x$ en $[1, 3]$ , decidí si $f(3)$ es mayor o menor que $f(1)$ .

Ver solución

1. Interpretamos el dato. Derivada positiva en todo el intervalo significa que $f$ crece en todo el intervalo.

2. Usamos el teorema del valor medio. $f(3) - f(1) = f'(c)(3 - 1)$ para algún $c$ del interior.

3. Analizamos los dos factores. $f'(c) > 0$ por el dato, y $3 - 1 = 2 > 0$ .

4. Concluimos. El producto es positivo, así que $f(3) > f(1)$ . No hace falta conocer $f$ ni calcular ningún valor.

Respuesta: $f(3) > f(1)$

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