Ejercicios: Asíntotas oblicuas

2. Hacemos la división. $\dfrac{x^{2} + 5 x + 2}{x - 1} = x + 6 + \dfrac{8}{x - 1}$

3. Analizamos el resto. $\dfrac{8}{x - 1} \to 0$ cuando $x \to \pm\infty$, porque el denominador crece y el numerador queda fijo.

4. Escribimos la asíntota. Lo que sobrevive es el cociente: la recta $y = x + 6$, la misma hacia los dos infinitos.

Respuesta: $y = x + 6$

2. Calculamos la pendiente. $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + x}$, cociente de grados iguales, así que $m = 2$.

3. Calculamos la ordenada. $f(x) - 2x = \dfrac{5 - 2 x}{x + 1}$, que tiende a $-2$.

4. Escribimos la asíntota. $y = 2 x - 2$. El método de los límites sirve también cuando no hay polinomios para dividir.

Respuesta: $y = 2 x - 2$

2. Aplicamos el criterio. Hay asíntota oblicua solo cuando la diferencia de grados es exactamente uno.

3. Verificamos con el límite de la pendiente. $m = \lim \dfrac{f(x)}{x} = \lim \dfrac{5x^{3} + 1}{x^{2} + x} = +\infty$, así que ni siquiera existe la pendiente.

4. Concluimos. No hay asíntota oblicua ni horizontal: la función crece más rápido que cualquier recta. Al dividir queda una parábola, que sí describe el comportamiento pero no es una recta.

Respuesta: no tiene: la diferencia de grados es dos

2. Calculamos la ordenada. $f(x) - x = \dfrac{x^{2} + 5x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 5x} + x} = \dfrac{5x}{\sqrt{x^{2} + 5x} + x}$, que tiende a $\dfrac{5}{2}$.

3. Escribimos la primera asíntota. $y = x + \dfrac{5}{2}$ hacia $+\infty$.

4. Repetimos hacia menos infinito. Ahí $\sqrt{x^{2}} = -x$, así que $m = -1$ y la asíntota es $y = -x - \dfrac{5}{2}$: son distintas de cada lado.

Respuesta: $y = x + \dfrac{5}{2}$ hacia $+\infty$ e $y = -x - \dfrac{5}{2}$ hacia $-\infty$

2. Hacemos la división. $\dfrac{x^{2} + 4 x + 5}{x - 1} = x + 5 + \dfrac{10}{x - 1}$

3. Analizamos el resto. $\dfrac{10}{x - 1} \to 0$ cuando $x \to \pm\infty$, porque el denominador crece y el numerador queda fijo.

4. Escribimos la asíntota. Lo que sobrevive es el cociente: la recta $y = x + 5$, la misma hacia los dos infinitos.

Respuesta: $y = x + 5$

2. Calculamos la pendiente. $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x}$, cociente de grados iguales, así que $m = 4$.

3. Calculamos la ordenada. $f(x) - 4x = \dfrac{1 - 4 x}{x + 1}$, que tiende a $-4$.

4. Escribimos la asíntota. $y = 4 x - 4$. El método de los límites sirve también cuando no hay polinomios para dividir.

Respuesta: $y = 4 x - 4$

2. Aplicamos el criterio. Hay asíntota oblicua solo cuando la diferencia de grados es exactamente uno.

3. Verificamos con el límite de la pendiente. $m = \lim \dfrac{f(x)}{x} = \lim \dfrac{6x^{3} + 1}{x^{2} + x} = +\infty$, así que ni siquiera existe la pendiente.

4. Concluimos. No hay asíntota oblicua ni horizontal: la función crece más rápido que cualquier recta. Al dividir queda una parábola, que sí describe el comportamiento pero no es una recta.

Respuesta: no tiene: la diferencia de grados es dos

2. Calculamos la ordenada. $f(x) - x = \dfrac{x^{2} + 4x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 4x} + x} = \dfrac{4x}{\sqrt{x^{2} + 4x} + x}$, que tiende a $2$.

3. Escribimos la primera asíntota. $y = x + 2$ hacia $+\infty$.

4. Repetimos hacia menos infinito. Ahí $\sqrt{x^{2}} = -x$, así que $m = -1$ y la asíntota es $y = -x - 2$: son distintas de cada lado.

Respuesta: $y = x + 2$ hacia $+\infty$ e $y = -x - 2$ hacia $-\infty$

2. Hacemos la división. $\dfrac{x^{2} + 6 x + 2}{x - 1} = x + 7 + \dfrac{9}{x - 1}$

3. Analizamos el resto. $\dfrac{9}{x - 1} \to 0$ cuando $x \to \pm\infty$, porque el denominador crece y el numerador queda fijo.

4. Escribimos la asíntota. Lo que sobrevive es el cociente: la recta $y = x + 7$, la misma hacia los dos infinitos.

Respuesta: $y = x + 7$

2. Calculamos la pendiente. $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{3 x^{2} + 2}{x^{2} + x}$, cociente de grados iguales, así que $m = 3$.

3. Calculamos la ordenada. $f(x) - 3x = \dfrac{2 - 3 x}{x + 1}$, que tiende a $-3$.

4. Escribimos la asíntota. $y = 3 x - 3$. El método de los límites sirve también cuando no hay polinomios para dividir.

Respuesta: $y = 3 x - 3$

2. Aplicamos el criterio. Hay asíntota oblicua solo cuando la diferencia de grados es exactamente uno.

3. Verificamos con el límite de la pendiente. $m = \lim \dfrac{f(x)}{x} = \lim \dfrac{2x^{3} + 1}{x^{2} + x} = +\infty$, así que ni siquiera existe la pendiente.

4. Concluimos. No hay asíntota oblicua ni horizontal: la función crece más rápido que cualquier recta. Al dividir queda una parábola, que sí describe el comportamiento pero no es una recta.

Respuesta: no tiene: la diferencia de grados es dos

2. Calculamos la ordenada. $f(x) - x = \dfrac{x^{2} + 7x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 7x} + x} = \dfrac{7x}{\sqrt{x^{2} + 7x} + x}$, que tiende a $\dfrac{7}{2}$.

3. Escribimos la primera asíntota. $y = x + \dfrac{7}{2}$ hacia $+\infty$.

4. Repetimos hacia menos infinito. Ahí $\sqrt{x^{2}} = -x$, así que $m = -1$ y la asíntota es $y = -x - \dfrac{7}{2}$: son distintas de cada lado.

Respuesta: $y = x + \dfrac{7}{2}$ hacia $+\infty$ e $y = -x - \dfrac{7}{2}$ hacia $-\infty$