Ejercicios: El estudio completo, paso a paso

2. Cortes con los ejes. Una fracción vale cero cuando se anula el numerador, y acá el numerador es $1$: no corta el eje $x$. Con el eje $y$: $f(0) = \dfrac{1}{-3} = - \dfrac{1}{3}$.

3. Asíntota vertical. En $x = 3$ el numerador vale $1$ y el denominador $0$: es un número sobre cero, así que hay asíntota. Los laterales dan $-\infty$ por izquierda y $+\infty$ por derecha.

4. Asíntota horizontal. El grado de abajo es mayor que el de arriba, así que $f(x) \to 0$ en los dos infinitos: la asíntota es $y = 0$.

5. Crecimiento. $f'(x) = -\dfrac{1}{(x - 3)^{2}}$. El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que la derivada es negativa en todo el dominio: no hay puntos críticos y la función decrece en cada una de las dos ramas por separado.

Respuesta: dominio $\mathbb{R} - \{3\}$, sin cortes con el eje $x$, asíntotas $x = 3$ e $y = 0$, y decreciente en las dos ramas

2. Crecimiento. $f'(x) = 3 x^{2} - 3$, que se anula en $x = -1$ y $x = 1$. Probando un valor de cada tramo, la derivada es positiva afuera del intervalo $(-1, 1)$ y negativa adentro.

3. Clasificamos los extremos. En $x = -1$ la derivada pasa de positiva a negativa: máximo local, en $(-1, 2)$. En $x = 1$ pasa de negativa a positiva: mínimo local, en $(1, -2)$.

4. Concavidad e inflexión. $f''(x) = 6 x$ se anula en $x = 0$ y cambia de signo ahí: cóncava hacia abajo antes y hacia arriba después, con inflexión en $(0, 0)$.

5. Comportamiento en el infinito. El grado es impar con coeficiente principal positivo, así que $f(x) \to -\infty$ a la izquierda y $+\infty$ a la derecha. Con eso ya está todo lo que hace falta para dibujarla.

Respuesta: raíces $- \sqrt{3}$, $0$ y $\sqrt{3}$; máximo en $(-1, 2)$, mínimo en $(1, -2)$ e inflexión en $(0, 0)$

2. Después los cortes con los ejes. Son puntos concretos del dibujo: corta el eje $x$ donde se anula el numerador, en $(-4, 0)$, y el eje $y$ en $(0, - \dfrac{4}{3})$.

3. Enseguida las asíntotas. La vertical es $x = 3$, donde el denominador se anula y el numerador no. La horizontal es $y = 1$, porque los grados empatan y el cociente de los coeficientes principales vale $1$. Las dos arman el marco por donde puede andar la curva.

4. Recién ahí se deriva una vez. $f'(x) = \dfrac{-7}{(x - 3)^{2}}$, que no se anula nunca: no hay puntos críticos, y el signo es el mismo en las dos ramas.

5. Por último la derivada segunda. Da la concavidad, que es distinta a cada lado de la asíntota vertical. El orden importa porque cada paso se apoya en el anterior: las asíntotas no se pueden buscar sin el dominio, y la clasificación de extremos no se puede hacer sin la derivada.

Respuesta: dominio, cortes, asíntotas, primera derivada con crecimiento y extremos, y segunda derivada con concavidad

2. Asíntotas. Cuando $|x|$ crece, el exponente $-4x^{2}$ se va a $-\infty$ y la función a $0$: asíntota horizontal $y = 0$ de los dos lados. No hay verticales, porque no hay denominadores ni logaritmos.

3. Extremos. $f'(x) = -8xe^{-4x^{2}}$. La exponencial es siempre positiva, así que el signo lo decide $-8x$: la derivada se anula solo en $x = 0$ y pasa de positiva a negativa.

4. Clasificamos. Hay un máximo en $(0, 1)$, y es absoluto: la función crece hasta ahí y decrece después, sin otros puntos críticos.

5. Concavidad. $f''(x) = (64x^{2} - 8)e^{-4x^{2}}$ se anula donde $x^{2} = \dfrac{1}{8}$, o sea en $x = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ y $x = - \dfrac{\sqrt{2}}{4}$, y cambia de signo en los dos: hay dos inflexiones y la curva tiene forma de campana.

Respuesta: dominio $\mathbb{R}$, asíntota $y = 0$, máximo en $(0, 1)$ e inflexiones en $x = - \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ y $x = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$

2. Cortes con los ejes. Una fracción vale cero cuando se anula el numerador, y acá el numerador es $1$: no corta el eje $x$. Con el eje $y$: $f(0) = \dfrac{1}{-6} = - \dfrac{1}{6}$.

3. Asíntota vertical. En $x = 6$ el numerador vale $1$ y el denominador $0$: es un número sobre cero, así que hay asíntota. Los laterales dan $-\infty$ por izquierda y $+\infty$ por derecha.

4. Asíntota horizontal. El grado de abajo es mayor que el de arriba, así que $f(x) \to 0$ en los dos infinitos: la asíntota es $y = 0$.

5. Crecimiento. $f'(x) = -\dfrac{1}{(x - 6)^{2}}$. El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que la derivada es negativa en todo el dominio: no hay puntos críticos y la función decrece en cada una de las dos ramas por separado.

Respuesta: dominio $\mathbb{R} - \{6\}$, sin cortes con el eje $x$, asíntotas $x = 6$ e $y = 0$, y decreciente en las dos ramas

2. Crecimiento. $f'(x) = 3 x^{2} - 75$, que se anula en $x = -5$ y $x = 5$. Probando un valor de cada tramo, la derivada es positiva afuera del intervalo $(-5, 5)$ y negativa adentro.

3. Clasificamos los extremos. En $x = -5$ la derivada pasa de positiva a negativa: máximo local, en $(-5, 250)$. En $x = 5$ pasa de negativa a positiva: mínimo local, en $(5, -250)$.

4. Concavidad e inflexión. $f''(x) = 6 x$ se anula en $x = 0$ y cambia de signo ahí: cóncava hacia abajo antes y hacia arriba después, con inflexión en $(0, 0)$.

5. Comportamiento en el infinito. El grado es impar con coeficiente principal positivo, así que $f(x) \to -\infty$ a la izquierda y $+\infty$ a la derecha. Con eso ya está todo lo que hace falta para dibujarla.

Respuesta: raíces $- 5 \sqrt{3}$, $0$ y $5 \sqrt{3}$; máximo en $(-5, 250)$, mínimo en $(5, -250)$ e inflexión en $(0, 0)$

2. Después los cortes con los ejes. Son puntos concretos del dibujo: corta el eje $x$ donde se anula el numerador, en $(-5, 0)$, y el eje $y$ en $(0, - \dfrac{5}{2})$.

3. Enseguida las asíntotas. La vertical es $x = 2$, donde el denominador se anula y el numerador no. La horizontal es $y = 1$, porque los grados empatan y el cociente de los coeficientes principales vale $1$. Las dos arman el marco por donde puede andar la curva.

4. Recién ahí se deriva una vez. $f'(x) = \dfrac{-7}{(x - 2)^{2}}$, que no se anula nunca: no hay puntos críticos, y el signo es el mismo en las dos ramas.

5. Por último la derivada segunda. Da la concavidad, que es distinta a cada lado de la asíntota vertical. El orden importa porque cada paso se apoya en el anterior: las asíntotas no se pueden buscar sin el dominio, y la clasificación de extremos no se puede hacer sin la derivada.

Respuesta: dominio, cortes, asíntotas, primera derivada con crecimiento y extremos, y segunda derivada con concavidad

2. Asíntotas. Cuando $|x|$ crece, el exponente $-x^{2}$ se va a $-\infty$ y la función a $0$: asíntota horizontal $y = 0$ de los dos lados. No hay verticales, porque no hay denominadores ni logaritmos.

3. Extremos. $f'(x) = -2xe^{-x^{2}}$. La exponencial es siempre positiva, así que el signo lo decide $-2x$: la derivada se anula solo en $x = 0$ y pasa de positiva a negativa.

4. Clasificamos. Hay un máximo en $(0, 1)$, y es absoluto: la función crece hasta ahí y decrece después, sin otros puntos críticos.

5. Concavidad. $f''(x) = (4x^{2} - 2)e^{-x^{2}}$ se anula donde $x^{2} = \dfrac{1}{2}$, o sea en $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ y $x = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, y cambia de signo en los dos: hay dos inflexiones y la curva tiene forma de campana.

Respuesta: dominio $\mathbb{R}$, asíntota $y = 0$, máximo en $(0, 1)$ e inflexiones en $x = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ y $x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

2. Cortes con los ejes. Una fracción vale cero cuando se anula el numerador, y acá el numerador es $1$: no corta el eje $x$. Con el eje $y$: $f(0) = \dfrac{1}{-5} = - \dfrac{1}{5}$.

3. Asíntota vertical. En $x = 5$ el numerador vale $1$ y el denominador $0$: es un número sobre cero, así que hay asíntota. Los laterales dan $-\infty$ por izquierda y $+\infty$ por derecha.

4. Asíntota horizontal. El grado de abajo es mayor que el de arriba, así que $f(x) \to 0$ en los dos infinitos: la asíntota es $y = 0$.

5. Crecimiento. $f'(x) = -\dfrac{1}{(x - 5)^{2}}$. El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que la derivada es negativa en todo el dominio: no hay puntos críticos y la función decrece en cada una de las dos ramas por separado.

Respuesta: dominio $\mathbb{R} - \{5\}$, sin cortes con el eje $x$, asíntotas $x = 5$ e $y = 0$, y decreciente en las dos ramas

2. Crecimiento. $f'(x) = 3 x^{2} - 12$, que se anula en $x = -2$ y $x = 2$. Probando un valor de cada tramo, la derivada es positiva afuera del intervalo $(-2, 2)$ y negativa adentro.

3. Clasificamos los extremos. En $x = -2$ la derivada pasa de positiva a negativa: máximo local, en $(-2, 16)$. En $x = 2$ pasa de negativa a positiva: mínimo local, en $(2, -16)$.

4. Concavidad e inflexión. $f''(x) = 6 x$ se anula en $x = 0$ y cambia de signo ahí: cóncava hacia abajo antes y hacia arriba después, con inflexión en $(0, 0)$.

5. Comportamiento en el infinito. El grado es impar con coeficiente principal positivo, así que $f(x) \to -\infty$ a la izquierda y $+\infty$ a la derecha. Con eso ya está todo lo que hace falta para dibujarla.

Respuesta: raíces $- 2 \sqrt{3}$, $0$ y $2 \sqrt{3}$; máximo en $(-2, 16)$, mínimo en $(2, -16)$ e inflexión en $(0, 0)$

2. Después los cortes con los ejes. Son puntos concretos del dibujo: corta el eje $x$ donde se anula el numerador, en $(-6, 0)$, y el eje $y$ en $(0, -6)$.

3. Enseguida las asíntotas. La vertical es $x = 1$, donde el denominador se anula y el numerador no. La horizontal es $y = 1$, porque los grados empatan y el cociente de los coeficientes principales vale $1$. Las dos arman el marco por donde puede andar la curva.

4. Recién ahí se deriva una vez. $f'(x) = \dfrac{-7}{(x - 1)^{2}}$, que no se anula nunca: no hay puntos críticos, y el signo es el mismo en las dos ramas.

5. Por último la derivada segunda. Da la concavidad, que es distinta a cada lado de la asíntota vertical. El orden importa porque cada paso se apoya en el anterior: las asíntotas no se pueden buscar sin el dominio, y la clasificación de extremos no se puede hacer sin la derivada.

Respuesta: dominio, cortes, asíntotas, primera derivada con crecimiento y extremos, y segunda derivada con concavidad

2. Asíntotas. Cuando $|x|$ crece, el exponente $-2x^{2}$ se va a $-\infty$ y la función a $0$: asíntota horizontal $y = 0$ de los dos lados. No hay verticales, porque no hay denominadores ni logaritmos.

3. Extremos. $f'(x) = -4xe^{-2x^{2}}$. La exponencial es siempre positiva, así que el signo lo decide $-4x$: la derivada se anula solo en $x = 0$ y pasa de positiva a negativa.

4. Clasificamos. Hay un máximo en $(0, 1)$, y es absoluto: la función crece hasta ahí y decrece después, sin otros puntos críticos.

5. Concavidad. $f''(x) = (16x^{2} - 4)e^{-2x^{2}}$ se anula donde $x^{2} = \dfrac{1}{4}$, o sea en $x = \dfrac{1}{2}$ y $x = - \dfrac{1}{2}$, y cambia de signo en los dos: hay dos inflexiones y la curva tiene forma de campana.

Respuesta: dominio $\mathbb{R}$, asíntota $y = 0$, máximo en $(0, 1)$ e inflexiones en $x = - \dfrac{1}{2}$ y $x = \dfrac{1}{2}$