Ejercicios: Del estudio al gráfico

1. Un estudio dio: dominio $\mathbb{R}$ , raíz en $x = 2$ , máximo en $(0, 5)$ , mínimo en $(4, -5)$ e inflexión en $(2, 0)$ . Describí la forma del gráfico.

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1. Ubicamos primero los puntos concretos. Se marcan $(0, 5)$ , $(2, 0)$ y $(4, -5)$ , cada uno con sus dos coordenadas.

2. Deducimos el crecimiento entre ellos. Entre un máximo y un mínimo la función decrece, así que baja desde $(0, 5)$ hasta $(4, -5)$ , y afuera de ese tramo crece.

3. Deducimos la concavidad. La inflexión en $x = 2$ separa las dos concavidades: antes es cóncava hacia abajo, porque viene de un máximo, y después hacia arriba, porque va hacia un mínimo.

4. Unimos con la forma correcta. La curva sube, se redondea en el máximo, baja pasando por la inflexión donde está más empinada, y se vuelve a redondear en el mínimo antes de subir.

Respuesta: sube hasta $(0, 5)$ , baja hasta $(4, -5)$ cruzando el eje en $x = 2$ , y después vuelve a subir

2. Para $f(x) = x^{3} - 12 x$ , armá la tabla de comportamiento por tramos indicando crecimiento y concavidad.

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1. Calculamos los puntos de corte de los tramos. $f'(x) = 3 x^{2} - 12$ se anula en $x = -2$ y $x = 2$ ; $f''(x) = 6 x$ se anula en $x = 0$ .

2. Escribimos el primer tramo. En $(-\infty, -2)$ : $f' > 0$ y $f'' < 0$ , o sea creciente y cóncava hacia abajo.

3. Escribimos los dos del medio. En $(-2, 0)$ : decreciente y cóncava hacia abajo. En $(0, 2)$ : decreciente y cóncava hacia arriba.

4. Escribimos el último. En $(2, +\infty)$ : creciente y cóncava hacia arriba. Los cuatro tramos juntos ya determinan la forma del dibujo.

Respuesta: cuatro tramos, separados por $-2$ , $0$ y $2$

3. Un alumno entrega este estudio de una función derivable: crece en $(0, 3)$ , tiene un mínimo local en $x = \dfrac{3}{2}$ y no tiene otros puntos críticos. Encontrá la incoherencia.

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1. Traducimos el primer dato. Crecer en $(0, 3)$ significa $f'(x) > 0$ en todo ese intervalo.

2. Traducimos el segundo. Un mínimo local en $x = \dfrac{3}{2}$ exige que la derivada pase de negativa a positiva ahí.

3. Comparamos. El punto $\dfrac{3}{2}$ está adentro de $(0, 3)$ , donde la derivada tendría que ser positiva siempre: no puede ser negativa justo antes.

4. Escribimos la corrección. O la función no crece en todo el intervalo, o no hay mínimo ahí. Chequear que los datos del estudio no se contradigan es parte del trabajo, antes de dibujar.

Respuesta: no puede haber un mínimo dentro de un intervalo donde la función crece

4. Una función tiene asíntota vertical $x = 1$ , con $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty$ , y asíntota horizontal $y = 4$ . Describí cómo se acerca la curva a cada una.

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1. Dibujamos primero las guías. Se marcan con línea punteada la vertical $x = 1$ y la horizontal $y = 4$ : son el marco por donde puede andar la curva.

2. Describimos el lado izquierdo de la vertical. Al acercarse a $1$ desde valores menores, la curva se desploma hacia abajo pegada a la recta.

3. Describimos el lado derecho. Desde valores mayores, la curva viene bajando desde arriba, pegada a la misma recta.

4. Describimos la horizontal. Lejos del origen, hacia los dos lados, la curva se aplasta contra $y = 4$ sin tocarla necesariamente. A diferencia de la vertical, esta sí puede cruzarse cerca del centro.

Respuesta: se desploma a $-\infty$ por izquierda de $x = 1$ y baja desde $+\infty$ por derecha, y se aplasta contra $y = 4$ en el infinito

5. Un estudio dio: dominio $\mathbb{R}$ , raíz en $x = 1$ , máximo en $(0, 4)$ , mínimo en $(2, -4)$ e inflexión en $(1, 0)$ . Describí la forma del gráfico.

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1. Ubicamos primero los puntos concretos. Se marcan $(0, 4)$ , $(1, 0)$ y $(2, -4)$ , cada uno con sus dos coordenadas.

2. Deducimos el crecimiento entre ellos. Entre un máximo y un mínimo la función decrece, así que baja desde $(0, 4)$ hasta $(2, -4)$ , y afuera de ese tramo crece.

3. Deducimos la concavidad. La inflexión en $x = 1$ separa las dos concavidades: antes es cóncava hacia abajo, porque viene de un máximo, y después hacia arriba, porque va hacia un mínimo.

4. Unimos con la forma correcta. La curva sube, se redondea en el máximo, baja pasando por la inflexión donde está más empinada, y se vuelve a redondear en el mínimo antes de subir.

Respuesta: sube hasta $(0, 4)$ , baja hasta $(2, -4)$ cruzando el eje en $x = 1$ , y después vuelve a subir

6. Para $f(x) = x^{3} - 27 x$ , armá la tabla de comportamiento por tramos indicando crecimiento y concavidad.

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1. Calculamos los puntos de corte de los tramos. $f'(x) = 3 x^{2} - 27$ se anula en $x = -3$ y $x = 3$ ; $f''(x) = 6 x$ se anula en $x = 0$ .

2. Escribimos el primer tramo. En $(-\infty, -3)$ : $f' > 0$ y $f'' < 0$ , o sea creciente y cóncava hacia abajo.

3. Escribimos los dos del medio. En $(-3, 0)$ : decreciente y cóncava hacia abajo. En $(0, 3)$ : decreciente y cóncava hacia arriba.

4. Escribimos el último. En $(3, +\infty)$ : creciente y cóncava hacia arriba. Los cuatro tramos juntos ya determinan la forma del dibujo.

Respuesta: cuatro tramos, separados por $-3$ , $0$ y $3$

7. Un alumno entrega este estudio de una función derivable: crece en $(0, 4)$ , tiene un mínimo local en $x = 2$ y no tiene otros puntos críticos. Encontrá la incoherencia.

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1. Traducimos el primer dato. Crecer en $(0, 4)$ significa $f'(x) > 0$ en todo ese intervalo.

2. Traducimos el segundo. Un mínimo local en $x = 2$ exige que la derivada pase de negativa a positiva ahí.

3. Comparamos. El punto $2$ está adentro de $(0, 4)$ , donde la derivada tendría que ser positiva siempre: no puede ser negativa justo antes.

4. Escribimos la corrección. O la función no crece en todo el intervalo, o no hay mínimo ahí. Chequear que los datos del estudio no se contradigan es parte del trabajo, antes de dibujar.

Respuesta: no puede haber un mínimo dentro de un intervalo donde la función crece

8. Una función tiene asíntota vertical $x = 6$ , con $\lim_{x \to 6^{-}} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 6^{+}} f(x) = +\infty$ , y asíntota horizontal $y = 2$ . Describí cómo se acerca la curva a cada una.

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1. Dibujamos primero las guías. Se marcan con línea punteada la vertical $x = 6$ y la horizontal $y = 2$ : son el marco por donde puede andar la curva.

2. Describimos el lado izquierdo de la vertical. Al acercarse a $6$ desde valores menores, la curva se desploma hacia abajo pegada a la recta.

3. Describimos el lado derecho. Desde valores mayores, la curva viene bajando desde arriba, pegada a la misma recta.

4. Describimos la horizontal. Lejos del origen, hacia los dos lados, la curva se aplasta contra $y = 2$ sin tocarla necesariamente. A diferencia de la vertical, esta sí puede cruzarse cerca del centro.

Respuesta: se desploma a $-\infty$ por izquierda de $x = 6$ y baja desde $+\infty$ por derecha, y se aplasta contra $y = 2$ en el infinito

9. Un estudio dio: dominio $\mathbb{R}$ , raíz en $x = 5$ , máximo en $(0, 3)$ , mínimo en $(10, -3)$ e inflexión en $(5, 0)$ . Describí la forma del gráfico.

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1. Ubicamos primero los puntos concretos. Se marcan $(0, 3)$ , $(5, 0)$ y $(10, -3)$ , cada uno con sus dos coordenadas.

2. Deducimos el crecimiento entre ellos. Entre un máximo y un mínimo la función decrece, así que baja desde $(0, 3)$ hasta $(10, -3)$ , y afuera de ese tramo crece.

3. Deducimos la concavidad. La inflexión en $x = 5$ separa las dos concavidades: antes es cóncava hacia abajo, porque viene de un máximo, y después hacia arriba, porque va hacia un mínimo.

4. Unimos con la forma correcta. La curva sube, se redondea en el máximo, baja pasando por la inflexión donde está más empinada, y se vuelve a redondear en el mínimo antes de subir.

Respuesta: sube hasta $(0, 3)$ , baja hasta $(10, -3)$ cruzando el eje en $x = 5$ , y después vuelve a subir

10. Para $f(x) = x^{3} - 75 x$ , armá la tabla de comportamiento por tramos indicando crecimiento y concavidad.

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1. Calculamos los puntos de corte de los tramos. $f'(x) = 3 x^{2} - 75$ se anula en $x = -5$ y $x = 5$ ; $f''(x) = 6 x$ se anula en $x = 0$ .

2. Escribimos el primer tramo. En $(-\infty, -5)$ : $f' > 0$ y $f'' < 0$ , o sea creciente y cóncava hacia abajo.

3. Escribimos los dos del medio. En $(-5, 0)$ : decreciente y cóncava hacia abajo. En $(0, 5)$ : decreciente y cóncava hacia arriba.

4. Escribimos el último. En $(5, +\infty)$ : creciente y cóncava hacia arriba. Los cuatro tramos juntos ya determinan la forma del dibujo.

Respuesta: cuatro tramos, separados por $-5$ , $0$ y $5$

11. Un alumno entrega este estudio de una función derivable: crece en $(0, 5)$ , tiene un mínimo local en $x = \dfrac{5}{2}$ y no tiene otros puntos críticos. Encontrá la incoherencia.

Ver solución

1. Traducimos el primer dato. Crecer en $(0, 5)$ significa $f'(x) > 0$ en todo ese intervalo.

2. Traducimos el segundo. Un mínimo local en $x = \dfrac{5}{2}$ exige que la derivada pase de negativa a positiva ahí.

3. Comparamos. El punto $\dfrac{5}{2}$ está adentro de $(0, 5)$ , donde la derivada tendría que ser positiva siempre: no puede ser negativa justo antes.

4. Escribimos la corrección. O la función no crece en todo el intervalo, o no hay mínimo ahí. Chequear que los datos del estudio no se contradigan es parte del trabajo, antes de dibujar.

Respuesta: no puede haber un mínimo dentro de un intervalo donde la función crece

12. Una función tiene asíntota vertical $x = 3$ , con $\lim_{x \to 3^{-}} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x \to 3^{+}} f(x) = +\infty$ , y asíntota horizontal $y = 1$ . Describí cómo se acerca la curva a cada una.

Ver solución

1. Dibujamos primero las guías. Se marcan con línea punteada la vertical $x = 3$ y la horizontal $y = 1$ : son el marco por donde puede andar la curva.

2. Describimos el lado izquierdo de la vertical. Al acercarse a $3$ desde valores menores, la curva se desploma hacia abajo pegada a la recta.

3. Describimos el lado derecho. Desde valores mayores, la curva viene bajando desde arriba, pegada a la misma recta.

4. Describimos la horizontal. Lejos del origen, hacia los dos lados, la curva se aplasta contra $y = 1$ sin tocarla necesariamente. A diferencia de la vertical, esta sí puede cruzarse cerca del centro.

Respuesta: se desploma a $-\infty$ por izquierda de $x = 3$ y baja desde $+\infty$ por derecha, y se aplasta contra $y = 1$ en el infinito