Ejercicios: La regla de L'Hôpital

1. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{7x} - 1}{x}$ con L'Hôpital.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba $e^{0} - 1 = 0$ y abajo $0$ : es cero sobre cero, así que se puede aplicar.

2. Derivamos arriba y abajo por separado. No es la regla del cociente: se deriva cada uno solo. Arriba queda $7e^{7x}$ y abajo $1$ .

3. Armamos el cociente nuevo. $\lim_{x \to 0} 7e^{7x}$

4. Evaluamos. Ya no hay indeterminación: da $7 \cdot 1 = 7$ .

Respuesta: $7$

2. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{4x}$ con L'Hôpital.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba y abajo se van a $+\infty$ : es infinito sobre infinito, la otra forma que acepta la regla.

2. Derivamos cada parte. Arriba $\dfrac{1}{x}$ y abajo $4$ .

3. Armamos el cociente nuevo. $\dfrac{1/x}{4} = \dfrac{1}{4x}$

4. Tomamos límite. Tiende a $0$ . Es la forma corta de decir que el logaritmo crece más lento que cualquier recta.

Respuesta: $0$

3. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(6x)}{x^{2}}$ aplicando L'Hôpital dos veces.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba $1 - \cos 0 = 0$ y abajo $0$ : es cero sobre cero, así que se puede aplicar.

2. Derivamos arriba y abajo por separado. Arriba $6\operatorname{sen}(6x)$ y abajo $2x$ , así que el cociente nuevo es $\lim_{x \to 0} \dfrac{6\operatorname{sen}(6x)}{2x}$ .

3. Vemos que sigue indeterminado. En $x = 0$ el numerador da $\operatorname{sen} 0 = 0$ y el denominador $0$ : vuelve a ser cero sobre cero, así que se aplica otra vez.

4. Derivamos de nuevo. Arriba $36\cos(6x)$ y abajo $2$ , que da $\lim_{x \to 0} \dfrac{36\cos(6x)}{2}$ .

5. Evaluamos. $\cos 0 = 1$ , así que el límite es $\dfrac{36}{2} = 18$ . Cada aplicación exige verificar de nuevo que la indeterminación siga: si no, el resultado sale mal.

Respuesta: $18$

4. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{5x}{2x}$ con L'Hôpital y mostrá qué pasa si se usa la regla del cociente por error.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba y abajo tienden a cero.

2. Aplicamos L'Hôpital bien. Derivamos cada parte por separado: arriba $5$ y abajo $2$ , así que el límite es $\dfrac{5}{2}$ .

3. Vemos qué daría la regla del cociente. Esa regla derivaría toda la expresión: $\dfrac{5 \cdot 2x - 5x \cdot 2}{(2x)^{2}} = 0$ , que no es el límite pedido.

4. Marcamos la diferencia. L'Hôpital arma un cociente nuevo con las dos derivadas; la regla del cociente calcula la derivada de la función. Son cosas distintas y confundirlas es el error más grave del tema. Se verifica simplificando: la función es la constante $\dfrac{5}{2}$ .

Respuesta: $\dfrac{5}{2}$

5. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{6x} - 1}{x}$ con L'Hôpital.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba $e^{0} - 1 = 0$ y abajo $0$ : es cero sobre cero, así que se puede aplicar.

2. Derivamos arriba y abajo por separado. No es la regla del cociente: se deriva cada uno solo. Arriba queda $6e^{6x}$ y abajo $1$ .

3. Armamos el cociente nuevo. $\lim_{x \to 0} 6e^{6x}$

4. Evaluamos. Ya no hay indeterminación: da $6 \cdot 1 = 6$ .

Respuesta: $6$

6. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{5x}$ con L'Hôpital.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba y abajo se van a $+\infty$ : es infinito sobre infinito, la otra forma que acepta la regla.

2. Derivamos cada parte. Arriba $\dfrac{1}{x}$ y abajo $5$ .

3. Armamos el cociente nuevo. $\dfrac{1/x}{5} = \dfrac{1}{5x}$

4. Tomamos límite. Tiende a $0$ . Es la forma corta de decir que el logaritmo crece más lento que cualquier recta.

Respuesta: $0$

7. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(7x)}{x^{2}}$ aplicando L'Hôpital dos veces.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba $1 - \cos 0 = 0$ y abajo $0$ : es cero sobre cero, así que se puede aplicar.

2. Derivamos arriba y abajo por separado. Arriba $7\operatorname{sen}(7x)$ y abajo $2x$ , así que el cociente nuevo es $\lim_{x \to 0} \dfrac{7\operatorname{sen}(7x)}{2x}$ .

3. Vemos que sigue indeterminado. En $x = 0$ el numerador da $\operatorname{sen} 0 = 0$ y el denominador $0$ : vuelve a ser cero sobre cero, así que se aplica otra vez.

4. Derivamos de nuevo. Arriba $49\cos(7x)$ y abajo $2$ , que da $\lim_{x \to 0} \dfrac{49\cos(7x)}{2}$ .

5. Evaluamos. $\cos 0 = 1$ , así que el límite es $\dfrac{49}{2}$ . Cada aplicación exige verificar de nuevo que la indeterminación siga: si no, el resultado sale mal.

Respuesta: $\dfrac{49}{2}$

8. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{4x}{5x}$ con L'Hôpital y mostrá qué pasa si se usa la regla del cociente por error.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba y abajo tienden a cero.

2. Aplicamos L'Hôpital bien. Derivamos cada parte por separado: arriba $4$ y abajo $5$ , así que el límite es $\dfrac{4}{5}$ .

3. Vemos qué daría la regla del cociente. Esa regla derivaría toda la expresión: $\dfrac{4 \cdot 5x - 4x \cdot 5}{(5x)^{2}} = 0$ , que no es el límite pedido.

4. Marcamos la diferencia. L'Hôpital arma un cociente nuevo con las dos derivadas; la regla del cociente calcula la derivada de la función. Son cosas distintas y confundirlas es el error más grave del tema. Se verifica simplificando: la función es la constante $\dfrac{4}{5}$ .

Respuesta: $\dfrac{4}{5}$

9. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{4x} - 1}{x}$ con L'Hôpital.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba $e^{0} - 1 = 0$ y abajo $0$ : es cero sobre cero, así que se puede aplicar.

2. Derivamos arriba y abajo por separado. No es la regla del cociente: se deriva cada uno solo. Arriba queda $4e^{4x}$ y abajo $1$ .

3. Armamos el cociente nuevo. $\lim_{x \to 0} 4e^{4x}$

4. Evaluamos. Ya no hay indeterminación: da $4 \cdot 1 = 4$ .

Respuesta: $4$

10. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{2x}$ con L'Hôpital.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba y abajo se van a $+\infty$ : es infinito sobre infinito, la otra forma que acepta la regla.

2. Derivamos cada parte. Arriba $\dfrac{1}{x}$ y abajo $2$ .

3. Armamos el cociente nuevo. $\dfrac{1/x}{2} = \dfrac{1}{2x}$

4. Tomamos límite. Tiende a $0$ . Es la forma corta de decir que el logaritmo crece más lento que cualquier recta.

Respuesta: $0$

11. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(5x)}{x^{2}}$ aplicando L'Hôpital dos veces.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba $1 - \cos 0 = 0$ y abajo $0$ : es cero sobre cero, así que se puede aplicar.

2. Derivamos arriba y abajo por separado. Arriba $5\operatorname{sen}(5x)$ y abajo $2x$ , así que el cociente nuevo es $\lim_{x \to 0} \dfrac{5\operatorname{sen}(5x)}{2x}$ .

3. Vemos que sigue indeterminado. En $x = 0$ el numerador da $\operatorname{sen} 0 = 0$ y el denominador $0$ : vuelve a ser cero sobre cero, así que se aplica otra vez.

4. Derivamos de nuevo. Arriba $25\cos(5x)$ y abajo $2$ , que da $\lim_{x \to 0} \dfrac{25\cos(5x)}{2}$ .

5. Evaluamos. $\cos 0 = 1$ , así que el límite es $\dfrac{25}{2}$ . Cada aplicación exige verificar de nuevo que la indeterminación siga: si no, el resultado sale mal.

Respuesta: $\dfrac{25}{2}$

12. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{7x}{4x}$ con L'Hôpital y mostrá qué pasa si se usa la regla del cociente por error.

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1. Verificamos la indeterminación. Arriba y abajo tienden a cero.

2. Aplicamos L'Hôpital bien. Derivamos cada parte por separado: arriba $7$ y abajo $4$ , así que el límite es $\dfrac{7}{4}$ .

3. Vemos qué daría la regla del cociente. Esa regla derivaría toda la expresión: $\dfrac{7 \cdot 4x - 7x \cdot 4}{(4x)^{2}} = 0$ , que no es el límite pedido.

4. Marcamos la diferencia. L'Hôpital arma un cociente nuevo con las dos derivadas; la regla del cociente calcula la derivada de la función. Son cosas distintas y confundirlas es el error más grave del tema. Se verifica simplificando: la función es la constante $\dfrac{7}{4}$ .

Respuesta: $\dfrac{7}{4}$