Ejercicios: Optimización: el método

armar

\to

dejar una sola variable

\to

derivar

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Con $100$ metros de alambre se quiere cerrar un rectángulo de área máxima. Hallá sus dimensiones.

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1. Identificamos la función objetivo. Se quiere maximizar el área: $A = xy$ , con $x$ e $y$ los dos lados.

2. Escribimos la restricción. El perímetro es fijo: $2x + 2y = 100$ , o sea $y = 50 - x$ .

3. Reemplazamos para dejar una sola variable. $A(x) = x(50 - x) = - x^{2} + 50 x$ , con $0 < x < 50$ .

4. Derivamos y buscamos el máximo. $A'(x) = 50 - 2x$ , que se anula en $x = 25$ . La derivada pasa de positiva a negativa, así que es máximo, y el otro lado mide $25$ .

Respuesta: un cuadrado de $25$ metros de lado, con área $625$ metros cuadrados

2. Hallá dos números positivos que sumen $100$ y cuyo producto sea máximo.

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1. Identificamos la función objetivo. Se quiere maximizar el producto $P = xy$ .

2. Escribimos la restricción y reemplazamos. $x + y = 100$ , así que $y = 100 - x$ y $P(x) = x(100 - x) = - x^{2} + 100 x$ , con $0 < x < 100$ .

3. Derivamos. $P'(x) = 100 - 2x$ , que se anula en $x = 50$ .

4. Clasificamos y respondemos. $P''(x) = -2 < 0$ , así que es máximo. Los dos números son $50$ y $50$ , con producto $2500$ .

Respuesta: los dos números son $50$ , con producto $2500$

3. Hallá el mínimo de $f(x) = x + \dfrac{36}{x}$ para $x > 0$ , planteándolo como un problema de optimización.

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1. Identificamos qué se optimiza. La función objetivo ya está dada y depende de una sola variable, así que no hace falta restricción.

2. Derivamos. $f'(x) = 1 - \dfrac{36}{x^{2}} = \dfrac{x^{2} - 36}{x^{2}}$

3. Buscamos los críticos del dominio. Se anula en $x = 6$ , el único positivo.

4. Clasificamos. $f''(x) = \dfrac{72}{x^{3}}$ , positiva para $x > 0$ , así que hay mínimo: $f(6) = 12$ .

Respuesta: el mínimo es $12$ , en $x = 6$

4. Un rectángulo tiene área $36$ metros cuadrados. Traducí a función objetivo y restricción el problema de minimizar su perímetro, y resolvelo.

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1. Identificamos la función objetivo. Se quiere minimizar el perímetro: $P = 2x + 2y$ .

2. Escribimos la restricción. El área es fija: $xy = 36$ , o sea $y = \dfrac{36}{x}$ .

3. Dejamos una sola variable. $P(x) = 2x + \dfrac{72}{x}$ , con $x > 0$ .

4. Derivamos y resolvemos. $P'(x) = 2 - \dfrac{72}{x^{2}}$ , que se anula en $x = 6$ . Como $P''> 0$ , es mínimo, y el otro lado también mide $6$ .

Respuesta: un cuadrado de $6$ metros de lado, con perímetro $24$ metros

5. Con $60$ metros de alambre se quiere cerrar un rectángulo de área máxima. Hallá sus dimensiones.

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1. Identificamos la función objetivo. Se quiere maximizar el área: $A = xy$ , con $x$ e $y$ los dos lados.

2. Escribimos la restricción. El perímetro es fijo: $2x + 2y = 60$ , o sea $y = 30 - x$ .

3. Reemplazamos para dejar una sola variable. $A(x) = x(30 - x) = - x^{2} + 30 x$ , con $0 < x < 30$ .

4. Derivamos y buscamos el máximo. $A'(x) = 30 - 2x$ , que se anula en $x = 15$ . La derivada pasa de positiva a negativa, así que es máximo, y el otro lado mide $15$ .

Respuesta: un cuadrado de $15$ metros de lado, con área $225$ metros cuadrados

6. Hallá dos números positivos que sumen $40$ y cuyo producto sea máximo.

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1. Identificamos la función objetivo. Se quiere maximizar el producto $P = xy$ .

2. Escribimos la restricción y reemplazamos. $x + y = 40$ , así que $y = 40 - x$ y $P(x) = x(40 - x) = - x^{2} + 40 x$ , con $0 < x < 40$ .

3. Derivamos. $P'(x) = 40 - 2x$ , que se anula en $x = 20$ .

4. Clasificamos y respondemos. $P''(x) = -2 < 0$ , así que es máximo. Los dos números son $20$ y $20$ , con producto $400$ .

Respuesta: los dos números son $20$ , con producto $400$

7. Hallá el mínimo de $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ para $x > 0$ , planteándolo como un problema de optimización.

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1. Identificamos qué se optimiza. La función objetivo ya está dada y depende de una sola variable, así que no hace falta restricción.

2. Derivamos. $f'(x) = 1 - \dfrac{9}{x^{2}} = \dfrac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

3. Buscamos los críticos del dominio. Se anula en $x = 3$ , el único positivo.

4. Clasificamos. $f''(x) = \dfrac{18}{x^{3}}$ , positiva para $x > 0$ , así que hay mínimo: $f(3) = 6$ .

Respuesta: el mínimo es $6$ , en $x = 3$

8. Un rectángulo tiene área $400$ metros cuadrados. Traducí a función objetivo y restricción el problema de minimizar su perímetro, y resolvelo.

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1. Identificamos la función objetivo. Se quiere minimizar el perímetro: $P = 2x + 2y$ .

2. Escribimos la restricción. El área es fija: $xy = 400$ , o sea $y = \dfrac{400}{x}$ .

3. Dejamos una sola variable. $P(x) = 2x + \dfrac{800}{x}$ , con $x > 0$ .

4. Derivamos y resolvemos. $P'(x) = 2 - \dfrac{800}{x^{2}}$ , que se anula en $x = 20$ . Como $P''> 0$ , es mínimo, y el otro lado también mide $20$ .

Respuesta: un cuadrado de $20$ metros de lado, con perímetro $80$ metros

9. Con $120$ metros de alambre se quiere cerrar un rectángulo de área máxima. Hallá sus dimensiones.

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1. Identificamos la función objetivo. Se quiere maximizar el área: $A = xy$ , con $x$ e $y$ los dos lados.

2. Escribimos la restricción. El perímetro es fijo: $2x + 2y = 120$ , o sea $y = 60 - x$ .

3. Reemplazamos para dejar una sola variable. $A(x) = x(60 - x) = - x^{2} + 60 x$ , con $0 < x < 60$ .

4. Derivamos y buscamos el máximo. $A'(x) = 60 - 2x$ , que se anula en $x = 30$ . La derivada pasa de positiva a negativa, así que es máximo, y el otro lado mide $30$ .

Respuesta: un cuadrado de $30$ metros de lado, con área $900$ metros cuadrados

10. Hallá dos números positivos que sumen $20$ y cuyo producto sea máximo.

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1. Identificamos la función objetivo. Se quiere maximizar el producto $P = xy$ .

2. Escribimos la restricción y reemplazamos. $x + y = 20$ , así que $y = 20 - x$ y $P(x) = x(20 - x) = - x^{2} + 20 x$ , con $0 < x < 20$ .

3. Derivamos. $P'(x) = 20 - 2x$ , que se anula en $x = 10$ .

4. Clasificamos y respondemos. $P''(x) = -2 < 0$ , así que es máximo. Los dos números son $10$ y $10$ , con producto $100$ .

Respuesta: los dos números son $10$ , con producto $100$

11. Hallá el mínimo de $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ para $x > 0$ , planteándolo como un problema de optimización.

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1. Identificamos qué se optimiza. La función objetivo ya está dada y depende de una sola variable, así que no hace falta restricción.

2. Derivamos. $f'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^{2}} = \dfrac{x^{2} - 4}{x^{2}}$

3. Buscamos los críticos del dominio. Se anula en $x = 2$ , el único positivo.

4. Clasificamos. $f''(x) = \dfrac{8}{x^{3}}$ , positiva para $x > 0$ , así que hay mínimo: $f(2) = 4$ .

Respuesta: el mínimo es $4$ , en $x = 2$

12. Un rectángulo tiene área $64$ metros cuadrados. Traducí a función objetivo y restricción el problema de minimizar su perímetro, y resolvelo.

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1. Identificamos la función objetivo. Se quiere minimizar el perímetro: $P = 2x + 2y$ .

2. Escribimos la restricción. El área es fija: $xy = 64$ , o sea $y = \dfrac{64}{x}$ .

3. Dejamos una sola variable. $P(x) = 2x + \dfrac{128}{x}$ , con $x > 0$ .

4. Derivamos y resolvemos. $P'(x) = 2 - \dfrac{128}{x^{2}}$ , que se anula en $x = 8$ . Como $P''> 0$ , es mínimo, y el otro lado también mide $8$ .

Respuesta: un cuadrado de $8$ metros de lado, con perímetro $32$ metros

Integradores de Aplicaciones de la derivada: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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