Ejercicios: Optimización con geometría

cilindro:

V = \pi r^{2} h

A = 2\pi r^{2} + 2\pi r h

· caja sin tapa:

V = x^{2} h

A = x^{2} + 4xh

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. De una lámina cuadrada de $12$ cm de lado se recortan cuadraditos en las esquinas para armar una caja sin tapa. Hallá el lado del recorte que da volumen máximo.

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1. Nombramos la variable y escribimos las medidas. Si el recorte tiene lado $x$ , al doblar las solapas la base queda cuadrada de lado $12 - 2x$ y la altura es $x$ .

2. Escribimos la función objetivo y su dominio. $V(x) = x(12 - 2x)^{2} = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x$ . El dominio con sentido es $0 < x < 6$ : fuera de ahí la base tendría lado negativo.

3. Derivamos. $V'(x) = 12 x^{2} - 96 x + 144 = 12 \left(x - 6\right) \left(x - 2\right)$

4. Resolvemos y descartamos. Las raíces son $x = 2$ y $x = 6$ . La segunda es $6$ , que queda fuera del dominio: ahí la base se anula y no hay caja.

5. Clasificamos y respondemos. Alrededor de $x = 2$ la derivada pasa de positiva a negativa, así que es máximo. El volumen es $V(2) = 128$ centímetros cúbicos.

Respuesta: recortar cuadraditos de $2$ cm de lado

2. Hallá las dimensiones de una lata cilíndrica de $2000$ centímetros cúbicos que use la menor cantidad de material.

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1. Escribimos las dos fórmulas. Lo que se quiere minimizar es la superficie: $S = 2\pi r^{2} + 2\pi rh$ , las dos tapas más el costado. La restricción es el volumen fijo: $\pi r^{2}h = 2000$ .

2. Usamos la restricción para eliminar una variable. $h = \dfrac{2000}{\pi r^{2}}$ , y reemplazando en la superficie queda $S(r) = 2\pi r^{2} + \dfrac{4000}{r}$ , con $r > 0$ .

3. Derivamos e igualamos a cero. $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{4000}{r^{2}} = 0$ , o sea $4\pi r^{3} = 4000$ y por lo tanto $r = \sqrt[3]{\dfrac{2000}{2\pi}}$ .

4. Verificamos que sea mínimo. $S''(r) = 4\pi + \dfrac{8000}{r^{3}}$ , positiva para todo $r > 0$ , así que la superficie es cóncava hacia arriba y ese punto es mínimo.

5. Calculamos la altura e interpretamos. Reemplazando $r^{3} = \dfrac{2000}{2\pi}$ en $h = \dfrac{2000}{\pi r^{2}}$ queda $h = 2r$ : la lata más económica tiene la altura igual al diámetro.

Respuesta: $r = \sqrt[3]{\dfrac{2000}{2\pi}}$ y $h = 2r$

3. Hallá el punto de la parábola $y = x^{2}$ más cercano al punto $(3, 0)$ .

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1. Escribimos la distancia. Un punto genérico de la parábola es $(x, x^{2})$ , así que $d^{2} = (x - 3)^{2} + x^{4}$ .

2. Minimizamos el cuadrado en vez de la distancia. La raíz es creciente, así que el mínimo de la distancia está donde está el del cuadrado, y así se evita derivar una raíz.

3. Derivamos. $\left(d^{2}\right)' = 2(x - 3) + 4x^{3} = 0$

4. Resolvemos. La solución real es $x = 1$ , así que el punto es $\left(1; 1\right)$ .

Respuesta: el punto es aproximadamente $(1; 1)$

4. Hallá el rectángulo de área máxima inscripto entre la parábola $y = 3 - x^{2}$ y el eje $x$ , con la base sobre el eje.

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1. Nombramos las medidas. Por simetría, si el vértice derecho está en $x$ , la base mide $2x$ y la altura $3 - x^{2}$ .

2. Escribimos la función objetivo. $A(x) = 2x(3 - x^{2}) = - 2 x^{3} + 6 x$ , con $0 < x < \sqrt{3}$ .

3. Derivamos. $A'(x) = 6 - 6 x^{2}$ , que se anula en $x = 1$ .

4. Clasificamos y calculamos. La derivada pasa de positiva a negativa, así que hay máximo. La base mide $2$ , la altura $2$ y el área $4$ .

Respuesta: base $2$ , altura $2$ y área $4$

5. De una lámina cuadrada de $60$ cm de lado se recortan cuadraditos en las esquinas para armar una caja sin tapa. Hallá el lado del recorte que da volumen máximo.

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1. Nombramos la variable y escribimos las medidas. Si el recorte tiene lado $x$ , al doblar las solapas la base queda cuadrada de lado $60 - 2x$ y la altura es $x$ .

2. Escribimos la función objetivo y su dominio. $V(x) = x(60 - 2x)^{2} = 4 x^{3} - 240 x^{2} + 3600 x$ . El dominio con sentido es $0 < x < 30$ : fuera de ahí la base tendría lado negativo.

3. Derivamos. $V'(x) = 12 x^{2} - 480 x + 3600 = 12 \left(x - 30\right) \left(x - 10\right)$

4. Resolvemos y descartamos. Las raíces son $x = 10$ y $x = 30$ . La segunda es $30$ , que queda fuera del dominio: ahí la base se anula y no hay caja.

5. Clasificamos y respondemos. Alrededor de $x = 10$ la derivada pasa de positiva a negativa, así que es máximo. El volumen es $V(10) = 16000$ centímetros cúbicos.

Respuesta: recortar cuadraditos de $10$ cm de lado

6. Hallá las dimensiones de una lata cilíndrica de $250$ centímetros cúbicos que use la menor cantidad de material.

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1. Escribimos las dos fórmulas. Lo que se quiere minimizar es la superficie: $S = 2\pi r^{2} + 2\pi rh$ , las dos tapas más el costado. La restricción es el volumen fijo: $\pi r^{2}h = 250$ .

2. Usamos la restricción para eliminar una variable. $h = \dfrac{250}{\pi r^{2}}$ , y reemplazando en la superficie queda $S(r) = 2\pi r^{2} + \dfrac{500}{r}$ , con $r > 0$ .

3. Derivamos e igualamos a cero. $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{500}{r^{2}} = 0$ , o sea $4\pi r^{3} = 500$ y por lo tanto $r = \sqrt[3]{\dfrac{250}{2\pi}}$ .

4. Verificamos que sea mínimo. $S''(r) = 4\pi + \dfrac{1000}{r^{3}}$ , positiva para todo $r > 0$ , así que la superficie es cóncava hacia arriba y ese punto es mínimo.

5. Calculamos la altura e interpretamos. Reemplazando $r^{3} = \dfrac{250}{2\pi}$ en $h = \dfrac{250}{\pi r^{2}}$ queda $h = 2r$ : la lata más económica tiene la altura igual al diámetro.

Respuesta: $r = \sqrt[3]{\dfrac{250}{2\pi}}$ y $h = 2r$

7. Hallá el punto de la parábola $y = x^{2}$ más cercano al punto $(1, 0)$ .

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1. Escribimos la distancia. Un punto genérico de la parábola es $(x, x^{2})$ , así que $d^{2} = (x - 1)^{2} + x^{4}$ .

2. Minimizamos el cuadrado en vez de la distancia. La raíz es creciente, así que el mínimo de la distancia está donde está el del cuadrado, y así se evita derivar una raíz.

3. Derivamos. $\left(d^{2}\right)' = 2(x - 1) + 4x^{3} = 0$

4. Resolvemos. La solución real es $x = - \dfrac{1}{6 \sqrt[3]{\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{87}}{36}}} + \sqrt[3]{\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{87}}{36}} \approx 0{,}5898$ , así que el punto es $\left(0{,}5898; 0{,}3478\right)$ .

Respuesta: el punto es aproximadamente $(0{,}5898; 0{,}3478)$

8. Hallá el rectángulo de área máxima inscripto entre la parábola $y = 75 - x^{2}$ y el eje $x$ , con la base sobre el eje.

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1. Nombramos las medidas. Por simetría, si el vértice derecho está en $x$ , la base mide $2x$ y la altura $75 - x^{2}$ .

2. Escribimos la función objetivo. $A(x) = 2x(75 - x^{2}) = - 2 x^{3} + 150 x$ , con $0 < x < 5 \sqrt{3}$ .

3. Derivamos. $A'(x) = 150 - 6 x^{2}$ , que se anula en $x = 5$ .

4. Clasificamos y calculamos. La derivada pasa de positiva a negativa, así que hay máximo. La base mide $10$ , la altura $50$ y el área $500$ .

Respuesta: base $10$ , altura $50$ y área $500$

9. De una lámina cuadrada de $24$ cm de lado se recortan cuadraditos en las esquinas para armar una caja sin tapa. Hallá el lado del recorte que da volumen máximo.

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1. Nombramos la variable y escribimos las medidas. Si el recorte tiene lado $x$ , al doblar las solapas la base queda cuadrada de lado $24 - 2x$ y la altura es $x$ .

2. Escribimos la función objetivo y su dominio. $V(x) = x(24 - 2x)^{2} = 4 x^{3} - 96 x^{2} + 576 x$ . El dominio con sentido es $0 < x < 12$ : fuera de ahí la base tendría lado negativo.

3. Derivamos. $V'(x) = 12 x^{2} - 192 x + 576 = 12 \left(x - 12\right) \left(x - 4\right)$

4. Resolvemos y descartamos. Las raíces son $x = 4$ y $x = 12$ . La segunda es $12$ , que queda fuera del dominio: ahí la base se anula y no hay caja.

5. Clasificamos y respondemos. Alrededor de $x = 4$ la derivada pasa de positiva a negativa, así que es máximo. El volumen es $V(4) = 1024$ centímetros cúbicos.

Respuesta: recortar cuadraditos de $4$ cm de lado

10. Hallá las dimensiones de una lata cilíndrica de $500$ centímetros cúbicos que use la menor cantidad de material.

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1. Escribimos las dos fórmulas. Lo que se quiere minimizar es la superficie: $S = 2\pi r^{2} + 2\pi rh$ , las dos tapas más el costado. La restricción es el volumen fijo: $\pi r^{2}h = 500$ .

2. Usamos la restricción para eliminar una variable. $h = \dfrac{500}{\pi r^{2}}$ , y reemplazando en la superficie queda $S(r) = 2\pi r^{2} + \dfrac{1000}{r}$ , con $r > 0$ .

3. Derivamos e igualamos a cero. $S'(r) = 4\pi r - \dfrac{1000}{r^{2}} = 0$ , o sea $4\pi r^{3} = 1000$ y por lo tanto $r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{2\pi}}$ .

4. Verificamos que sea mínimo. $S''(r) = 4\pi + \dfrac{2000}{r^{3}}$ , positiva para todo $r > 0$ , así que la superficie es cóncava hacia arriba y ese punto es mínimo.

5. Calculamos la altura e interpretamos. Reemplazando $r^{3} = \dfrac{500}{2\pi}$ en $h = \dfrac{500}{\pi r^{2}}$ queda $h = 2r$ : la lata más económica tiene la altura igual al diámetro.

Respuesta: $r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{2\pi}}$ y $h = 2r$

11. Hallá el punto de la parábola $y = x^{2}$ más cercano al punto $(4, 0)$ .

Ver solución

1. Escribimos la distancia. Un punto genérico de la parábola es $(x, x^{2})$ , así que $d^{2} = (x - 4)^{2} + x^{4}$ .

2. Minimizamos el cuadrado en vez de la distancia. La raíz es creciente, así que el mínimo de la distancia está donde está el del cuadrado, y así se evita derivar una raíz.

3. Derivamos. $\left(d^{2}\right)' = 2(x - 4) + 4x^{3} = 0$

4. Resolvemos. La solución real es $x = - \dfrac{1}{6 \sqrt[3]{1 + \dfrac{\sqrt{1302}}{36}}} + \sqrt[3]{1 + \dfrac{\sqrt{1302}}{36}} \approx 1{,}1282$ , así que el punto es $\left(1{,}1282; 1{,}2728\right)$ .

Respuesta: el punto es aproximadamente $(1{,}1282; 1{,}2728)$

12. Hallá el rectángulo de área máxima inscripto entre la parábola $y = 48 - x^{2}$ y el eje $x$ , con la base sobre el eje.

Ver solución

1. Nombramos las medidas. Por simetría, si el vértice derecho está en $x$ , la base mide $2x$ y la altura $48 - x^{2}$ .

2. Escribimos la función objetivo. $A(x) = 2x(48 - x^{2}) = - 2 x^{3} + 96 x$ , con $0 < x < 4 \sqrt{3}$ .

3. Derivamos. $A'(x) = 96 - 6 x^{2}$ , que se anula en $x = 4$ .

4. Clasificamos y calculamos. La derivada pasa de positiva a negativa, así que hay máximo. La base mide $8$ , la altura $32$ y el área $256$ .

Respuesta: base $8$ , altura $32$ y área $256$

Integradores de Aplicaciones de la derivada: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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