Método

Ejercicios: El teorema fundamental

∫\int de a hasta b de f(x) dx =F(b)−F(a)= F(b) - F(a)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá ∫023x2 dx\int_{0}^{2} 3x^{2}\,dx con la regla de Barrow.

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1. Buscamos una primitiva. F(x)=x3F(x) = x^{3}

2. Escribimos el teorema. La integral definida vale F(2)−F(0)F(2) - F(0): no hace falta la constante, porque se cancela al restar.

3. Evaluamos en los dos extremos. F(2)=8F(2) = 8 y F(0)=0F(0) = 0.

4. Restamos. 8−0=88 - 0 = 8

Respuesta: 88

2. Sea G(x)=∫1x(t2+3) dtG(x) = \int_{1}^{x} \left(t^{2} + 3\right)\,dt. Hallá G′(x)G'(x) y G′(2)G'(2).

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1. Usamos la primera parte del teorema fundamental. Si se integra desde un punto fijo hasta uno variable, la derivada de esa función es el integrando evaluado en el límite superior.

2. Aplicamos. G′(x)=x2+3G'(x) = x^{2} + 3

3. Evaluamos. G′(2)=7G'(2) = 7

4. Interpretamos. No hizo falta calcular la integral: el teorema dice que derivar deshace lo que hace integrar. El límite inferior 11 no influye en la derivada.

Respuesta: G′(x)=x2+3G'(x) = x^{2} + 3 y G′(2)=7G'(2) = 7

3. Sea H(x)=∫0x2e6t dtH(x) = \int_{0}^{x^{2}} e^{6t}\,dt. Hallá H′(x)H'(x).

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1. Reconocemos la composición. El límite superior no es xx sino x2x^{2}, así que hay una función adentro de otra.

2. Escribimos la estructura. Si G(u)=∫0uekt dtG(u) = \int_{0}^{u} e^{kt}\,dt, entonces H(x)=G(x2)H(x) = G(x^{2}).

3. Derivamos con la regla de la cadena. H′(x)=G′(x2)⋅2xH'(x) = G'(x^{2}) \cdot 2x, y por el teorema fundamental G′(u)=e6uG'(u) = e^{6u}.

4. Escribimos el resultado. H′(x)=2xe6x2H'(x) = 2xe^{6x^{2}}. El factor de la cadena es lo que más se olvida en este tipo de ejercicio.

Respuesta: H′(x)=2xe6x2H'(x) = 2xe^{6x^{2}}

4. Calculá ∫063x dx\int_{0}^{6} 3x\,dx con Barrow y verificá con la fórmula del área del triángulo.

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1. Buscamos la primitiva. F(x)=3x22F(x) = \dfrac{3 x^{2}}{2}

2. Aplicamos Barrow. F(6)−F(0)=54−0=54F(6) - F(0) = 54 - 0 = 54

3. Miramos la región. La recta 3x3x y el eje encierran un triángulo de base 66 y altura 1818.

4. Comparamos. 6⋅182=54\dfrac{6 \cdot 18}{2} = 54, que coincide. Es una forma barata de controlar que la primitiva esté bien.

Respuesta: 5454, igual que el área del triángulo

5. Calculá ∫24x2 dx\int_{2}^{4} x^{2}\,dx con la regla de Barrow.

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1. Buscamos una primitiva. F(x)=x33F(x) = \dfrac{x^{3}}{3}

2. Escribimos el teorema. La integral definida vale F(4)−F(2)F(4) - F(2): no hace falta la constante, porque se cancela al restar.

3. Evaluamos en los dos extremos. F(4)=643F(4) = \dfrac{64}{3} y F(2)=83F(2) = \dfrac{8}{3}.

4. Restamos. 643−83=563\dfrac{64}{3} - \dfrac{8}{3} = \dfrac{56}{3}

Respuesta: 563\dfrac{56}{3}

6. Sea G(x)=∫3x(t2+2) dtG(x) = \int_{3}^{x} \left(t^{2} + 2\right)\,dt. Hallá G′(x)G'(x) y G′(2)G'(2).

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1. Usamos la primera parte del teorema fundamental. Si se integra desde un punto fijo hasta uno variable, la derivada de esa función es el integrando evaluado en el límite superior.

2. Aplicamos. G′(x)=x2+2G'(x) = x^{2} + 2

3. Evaluamos. G′(2)=6G'(2) = 6

4. Interpretamos. No hizo falta calcular la integral: el teorema dice que derivar deshace lo que hace integrar. El límite inferior 33 no influye en la derivada.

Respuesta: G′(x)=x2+2G'(x) = x^{2} + 2 y G′(2)=6G'(2) = 6

7. Sea H(x)=∫0x2e4t dtH(x) = \int_{0}^{x^{2}} e^{4t}\,dt. Hallá H′(x)H'(x).

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1. Reconocemos la composición. El límite superior no es xx sino x2x^{2}, así que hay una función adentro de otra.

2. Escribimos la estructura. Si G(u)=∫0uekt dtG(u) = \int_{0}^{u} e^{kt}\,dt, entonces H(x)=G(x2)H(x) = G(x^{2}).

3. Derivamos con la regla de la cadena. H′(x)=G′(x2)⋅2xH'(x) = G'(x^{2}) \cdot 2x, y por el teorema fundamental G′(u)=e4uG'(u) = e^{4u}.

4. Escribimos el resultado. H′(x)=2xe4x2H'(x) = 2xe^{4x^{2}}. El factor de la cadena es lo que más se olvida en este tipo de ejercicio.

Respuesta: H′(x)=2xe4x2H'(x) = 2xe^{4x^{2}}

8. Calculá ∫08x dx\int_{0}^{8} x\,dx con Barrow y verificá con la fórmula del área del triángulo.

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1. Buscamos la primitiva. F(x)=x22F(x) = \dfrac{x^{2}}{2}

2. Aplicamos Barrow. F(8)−F(0)=32−0=32F(8) - F(0) = 32 - 0 = 32

3. Miramos la región. La recta xx y el eje encierran un triángulo de base 88 y altura 88.

4. Comparamos. 8⋅82=32\dfrac{8 \cdot 8}{2} = 32, que coincide. Es una forma barata de controlar que la primitiva esté bien.

Respuesta: 3232, igual que el área del triángulo

9. Calculá ∫015x2 dx\int_{0}^{1} 5x^{2}\,dx con la regla de Barrow.

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1. Buscamos una primitiva. F(x)=5x33F(x) = \dfrac{5 x^{3}}{3}

2. Escribimos el teorema. La integral definida vale F(1)−F(0)F(1) - F(0): no hace falta la constante, porque se cancela al restar.

3. Evaluamos en los dos extremos. F(1)=53F(1) = \dfrac{5}{3} y F(0)=0F(0) = 0.

4. Restamos. 53−0=53\dfrac{5}{3} - 0 = \dfrac{5}{3}

Respuesta: 53\dfrac{5}{3}

10. Sea G(x)=∫1x(t2+4) dtG(x) = \int_{1}^{x} \left(t^{2} + 4\right)\,dt. Hallá G′(x)G'(x) y G′(2)G'(2).

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1. Usamos la primera parte del teorema fundamental. Si se integra desde un punto fijo hasta uno variable, la derivada de esa función es el integrando evaluado en el límite superior.

2. Aplicamos. G′(x)=x2+4G'(x) = x^{2} + 4

3. Evaluamos. G′(2)=8G'(2) = 8

4. Interpretamos. No hizo falta calcular la integral: el teorema dice que derivar deshace lo que hace integrar. El límite inferior 11 no influye en la derivada.

Respuesta: G′(x)=x2+4G'(x) = x^{2} + 4 y G′(2)=8G'(2) = 8

11. Sea H(x)=∫0x2e5t dtH(x) = \int_{0}^{x^{2}} e^{5t}\,dt. Hallá H′(x)H'(x).

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1. Reconocemos la composición. El límite superior no es xx sino x2x^{2}, así que hay una función adentro de otra.

2. Escribimos la estructura. Si G(u)=∫0uekt dtG(u) = \int_{0}^{u} e^{kt}\,dt, entonces H(x)=G(x2)H(x) = G(x^{2}).

3. Derivamos con la regla de la cadena. H′(x)=G′(x2)⋅2xH'(x) = G'(x^{2}) \cdot 2x, y por el teorema fundamental G′(u)=e5uG'(u) = e^{5u}.

4. Escribimos el resultado. H′(x)=2xe5x2H'(x) = 2xe^{5x^{2}}. El factor de la cadena es lo que más se olvida en este tipo de ejercicio.

Respuesta: H′(x)=2xe5x2H'(x) = 2xe^{5x^{2}}

12. Calculá ∫042x dx\int_{0}^{4} 2x\,dx con Barrow y verificá con la fórmula del área del triángulo.

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1. Buscamos la primitiva. F(x)=x2F(x) = x^{2}

2. Aplicamos Barrow. F(4)−F(0)=16−0=16F(4) - F(0) = 16 - 0 = 16

3. Miramos la región. La recta 2x2x y el eje encierran un triángulo de base 44 y altura 88.

4. Comparamos. 4⋅82=16\dfrac{4 \cdot 8}{2} = 16, que coincide. Es una forma barata de controlar que la primitiva esté bien.

Respuesta: 1616, igual que el área del triángulo

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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