Ejercicios: Cómo elegir la sustitución

u =

lo de adentro y que

g'(x)

esté presente

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Elegí la sustitución adecuada para $\int 2x\sqrt{x^{2} + 7}\,dx$ y resolvé.

Ver solución

1. Buscamos dónde está la composición. Lo que está adentro de una raíz casi siempre es la elección correcta.

2. Chequeamos que la derivada esté presente. $u = x^{2} + 7$ tiene derivada $2x$ , que aparece multiplicando: la sustitución sirve.

3. Reescribimos e integramos. $\int \sqrt{u}\,du = \dfrac{2}{3}u^{3/2} + C$

4. Volvemos a $x$ . $\dfrac{2}{3}(x^{2} + 7)^{3/2} + C$

Respuesta: con $u = x^{2} + 7$ queda $\dfrac{2}{3}(x^{2} + 7)^{3/2} + C$

2. Elegí la sustitución adecuada para $\int x^{2}e^{4x^{3}}\,dx$ y resolvé.

Ver solución

1. Miramos el exponente. Lo que está en el exponente, $4x^{3}$ , es la candidata natural.

2. Chequeamos la derivada. $u = 4x^{3}$ da $du = 12x^{2}\,dx$ , y $x^{2}$ está multiplicando: solo falta ajustar la constante.

3. Reescribimos. $x^{2}\,dx = \dfrac{du}{12}$ , así que la integral es $\dfrac{1}{12}\int e^{u}\,du$ .

4. Resolvemos y volvemos. $\dfrac{e^{4x^{3}}}{12} + C$

Respuesta: con $u = 4x^{3}$ queda $\dfrac{e^{4x^{3}}}{12} + C$

3. Elegí la sustitución adecuada para $\int \dfrac{14x}{7x^{2} + 4}\,dx$ y resolvé.

Ver solución

1. Miramos el denominador. Cuando hay un cociente, el denominador suele ser la elección correcta.

2. Chequeamos la derivada. $u = 7x^{2} + 4$ da $du = 14x\,dx$ , que es exactamente el numerador.

3. Reescribimos. $\int \dfrac{du}{u} = \ln|u| + C$

4. Volvemos a $x$ . $\ln|7x^{2} + 4| + C$ . Cuando el numerador es la derivada del denominador, el resultado siempre es un logaritmo.

Respuesta: con $u = 7x^{2} + 4$ queda $\ln|7x^{2} + 4| + C$

4. Para $\int x\cos(x^{2} + 2)\,dx$ , compará la elección $u = x^{2} + 2$ con $u = \cos(x^{2} + 2)$ .

Ver solución

1. Probamos la primera. $u = x^{2} + 2$ da $du = 2x\,dx$ , y en el integrando hay una $x$ multiplicando: alcanza con ajustar el $2$ .

2. Resolvemos con esa elección. $\dfrac{1}{2}\int \cos u\,du = \dfrac{\operatorname{sen} u}{2} + C$ , o sea $\dfrac{\operatorname{sen}(x^{2} + 2)}{2} + C$ .

3. Probamos la segunda. $u = \cos(x^{2} + 2)$ da $du = -2x\operatorname{sen}(x^{2} + 2)\,dx$ , y en el integrando no hay ningún seno para cancelar.

4. Sacamos el criterio. Sirve la elección cuya derivada está presente en el integrando. La otra deja una expresión que no se puede reescribir en función de $u$ .

Respuesta: sirve $u = x^{2} + 2$ , y da $\dfrac{\operatorname{sen}(x^{2} + 2)}{2} + C$

5. Elegí la sustitución adecuada para $\int 2x\sqrt{x^{2} + 3}\,dx$ y resolvé.

Ver solución

1. Buscamos dónde está la composición. Lo que está adentro de una raíz casi siempre es la elección correcta.

2. Chequeamos que la derivada esté presente. $u = x^{2} + 3$ tiene derivada $2x$ , que aparece multiplicando: la sustitución sirve.

3. Reescribimos e integramos. $\int \sqrt{u}\,du = \dfrac{2}{3}u^{3/2} + C$

4. Volvemos a $x$ . $\dfrac{2}{3}(x^{2} + 3)^{3/2} + C$

Respuesta: con $u = x^{2} + 3$ queda $\dfrac{2}{3}(x^{2} + 3)^{3/2} + C$

6. Elegí la sustitución adecuada para $\int x^{2}e^{5x^{3}}\,dx$ y resolvé.

Ver solución

1. Miramos el exponente. Lo que está en el exponente, $5x^{3}$ , es la candidata natural.

2. Chequeamos la derivada. $u = 5x^{3}$ da $du = 15x^{2}\,dx$ , y $x^{2}$ está multiplicando: solo falta ajustar la constante.

3. Reescribimos. $x^{2}\,dx = \dfrac{du}{15}$ , así que la integral es $\dfrac{1}{15}\int e^{u}\,du$ .

4. Resolvemos y volvemos. $\dfrac{e^{5x^{3}}}{15} + C$

Respuesta: con $u = 5x^{3}$ queda $\dfrac{e^{5x^{3}}}{15} + C$

7. Elegí la sustitución adecuada para $\int \dfrac{12x}{6x^{2} + 3}\,dx$ y resolvé.

Ver solución

1. Miramos el denominador. Cuando hay un cociente, el denominador suele ser la elección correcta.

2. Chequeamos la derivada. $u = 6x^{2} + 3$ da $du = 12x\,dx$ , que es exactamente el numerador.

3. Reescribimos. $\int \dfrac{du}{u} = \ln|u| + C$

4. Volvemos a $x$ . $\ln|6x^{2} + 3| + C$ . Cuando el numerador es la derivada del denominador, el resultado siempre es un logaritmo.

Respuesta: con $u = 6x^{2} + 3$ queda $\ln|6x^{2} + 3| + C$

8. Para $\int x\cos(x^{2} + 7)\,dx$ , compará la elección $u = x^{2} + 7$ con $u = \cos(x^{2} + 7)$ .

Ver solución

1. Probamos la primera. $u = x^{2} + 7$ da $du = 2x\,dx$ , y en el integrando hay una $x$ multiplicando: alcanza con ajustar el $2$ .

2. Resolvemos con esa elección. $\dfrac{1}{2}\int \cos u\,du = \dfrac{\operatorname{sen} u}{2} + C$ , o sea $\dfrac{\operatorname{sen}(x^{2} + 7)}{2} + C$ .

3. Probamos la segunda. $u = \cos(x^{2} + 7)$ da $du = -2x\operatorname{sen}(x^{2} + 7)\,dx$ , y en el integrando no hay ningún seno para cancelar.

4. Sacamos el criterio. Sirve la elección cuya derivada está presente en el integrando. La otra deja una expresión que no se puede reescribir en función de $u$ .

Respuesta: sirve $u = x^{2} + 7$ , y da $\dfrac{\operatorname{sen}(x^{2} + 7)}{2} + C$

9. Elegí la sustitución adecuada para $\int 2x\sqrt{x^{2} + 6}\,dx$ y resolvé.

Ver solución

1. Buscamos dónde está la composición. Lo que está adentro de una raíz casi siempre es la elección correcta.

2. Chequeamos que la derivada esté presente. $u = x^{2} + 6$ tiene derivada $2x$ , que aparece multiplicando: la sustitución sirve.

3. Reescribimos e integramos. $\int \sqrt{u}\,du = \dfrac{2}{3}u^{3/2} + C$

4. Volvemos a $x$ . $\dfrac{2}{3}(x^{2} + 6)^{3/2} + C$

Respuesta: con $u = x^{2} + 6$ queda $\dfrac{2}{3}(x^{2} + 6)^{3/2} + C$

10. Elegí la sustitución adecuada para $\int x^{2}e^{7x^{3}}\,dx$ y resolvé.

Ver solución

1. Miramos el exponente. Lo que está en el exponente, $7x^{3}$ , es la candidata natural.

2. Chequeamos la derivada. $u = 7x^{3}$ da $du = 21x^{2}\,dx$ , y $x^{2}$ está multiplicando: solo falta ajustar la constante.

3. Reescribimos. $x^{2}\,dx = \dfrac{du}{21}$ , así que la integral es $\dfrac{1}{21}\int e^{u}\,du$ .

4. Resolvemos y volvemos. $\dfrac{e^{7x^{3}}}{21} + C$

Respuesta: con $u = 7x^{3}$ queda $\dfrac{e^{7x^{3}}}{21} + C$

11. Elegí la sustitución adecuada para $\int \dfrac{6x}{3x^{2} + 1}\,dx$ y resolvé.

Ver solución

1. Miramos el denominador. Cuando hay un cociente, el denominador suele ser la elección correcta.

2. Chequeamos la derivada. $u = 3x^{2} + 1$ da $du = 6x\,dx$ , que es exactamente el numerador.

3. Reescribimos. $\int \dfrac{du}{u} = \ln|u| + C$

4. Volvemos a $x$ . $\ln|3x^{2} + 1| + C$ . Cuando el numerador es la derivada del denominador, el resultado siempre es un logaritmo.

Respuesta: con $u = 3x^{2} + 1$ queda $\ln|3x^{2} + 1| + C$

12. Para $\int x\cos(x^{2} + 4)\,dx$ , compará la elección $u = x^{2} + 4$ con $u = \cos(x^{2} + 4)$ .

Ver solución

1. Probamos la primera. $u = x^{2} + 4$ da $du = 2x\,dx$ , y en el integrando hay una $x$ multiplicando: alcanza con ajustar el $2$ .

2. Resolvemos con esa elección. $\dfrac{1}{2}\int \cos u\,du = \dfrac{\operatorname{sen} u}{2} + C$ , o sea $\dfrac{\operatorname{sen}(x^{2} + 4)}{2} + C$ .

3. Probamos la segunda. $u = \cos(x^{2} + 4)$ da $du = -2x\operatorname{sen}(x^{2} + 4)\,dx$ , y en el integrando no hay ningún seno para cancelar.

4. Sacamos el criterio. Sirve la elección cuya derivada está presente en el integrando. La otra deja una expresión que no se puede reescribir en función de $u$ .

Respuesta: sirve $u = x^{2} + 4$ , y da $\dfrac{\operatorname{sen}(x^{2} + 4)}{2} + C$

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

← Sustitución: la idea Integración por partes →

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .