Ejercicios: Integración por partes

\int u

= u \cdot v - \int v

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá $\int 7xe^{x}\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Elegimos las partes. $u = 7x$ , porque al derivar se simplifica, y $dv = e^{x}\,dx$ , porque integrarla no la complica.

2. Calculamos $du$ y $v$ . $du = 7\,dx$ y $v = e^{x}$ .

3. Aplicamos la fórmula. $uv - \int v\,du = 7xe^{x} - \int 7e^{x}\,dx$

4. Resolvemos la integral que queda. $= 7xe^{x} - 7e^{x} + C = 7 \left(x - 1\right) e^{x} + C$

Respuesta: $7 \left(x - 1\right) e^{x} + C$

2. Calculá $\int 3x\operatorname{sen} x\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Elegimos las partes. $u = 3x$ y $dv = \operatorname{sen} x\,dx$ .

2. Calculamos $du$ y $v$ . $du = 3\,dx$ y $v = -\cos x$ .

3. Aplicamos la fórmula. $-3x\cos x + \int 3\cos x\,dx$

4. Resolvemos lo que queda. $= -3x\cos x + 3\operatorname{sen} x + C$ . La integral nueva es más fácil que la original: eso confirma que la elección fue buena.

Respuesta: $-3x\cos x + 3\operatorname{sen} x + C$

3. Calculá $\int 3\ln x\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Vemos el problema. No parece un producto, pero se puede pensar como $\ln x$ multiplicado por $1$ .

2. Elegimos las partes. $u = 3\ln x$ y $dv = dx$ , porque no sabemos integrar el logaritmo pero sí derivarlo.

3. Calculamos $du$ y $v$ . $du = \dfrac{3}{x}\,dx$ y $v = x$ .

4. Aplicamos la fórmula. $3x\ln x - \int 3\,dx = 3x\ln x - 3x + C$

Respuesta: $3x\ln x - 3x + C$

4. Calculá $\int x^{7}\ln x\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Elegimos las partes. $u = \ln x$ , porque al derivar se vuelve algebraico, y $dv = x^{7}\,dx$ .

2. Calculamos $du$ y $v$ . $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ y $v = \dfrac{x^{8}}{8}$ .

3. Aplicamos la fórmula. $\dfrac{x^{8}\ln x}{8} - \int \dfrac{x^{7}}{8}\,dx$

4. Resolvemos lo que queda. $= \dfrac{x^{8}\ln x}{8} - \dfrac{x^{8}}{64} + C$

Respuesta: $\dfrac{x^{8}\ln x}{8} - \dfrac{x^{8}}{64} + C$

5. Calculá $\int 4xe^{x}\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Elegimos las partes. $u = 4x$ , porque al derivar se simplifica, y $dv = e^{x}\,dx$ , porque integrarla no la complica.

2. Calculamos $du$ y $v$ . $du = 4\,dx$ y $v = e^{x}$ .

3. Aplicamos la fórmula. $uv - \int v\,du = 4xe^{x} - \int 4e^{x}\,dx$

4. Resolvemos la integral que queda. $= 4xe^{x} - 4e^{x} + C = 4 \left(x - 1\right) e^{x} + C$

Respuesta: $4 \left(x - 1\right) e^{x} + C$

6. Calculá $\int 2x\operatorname{sen} x\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Elegimos las partes. $u = 2x$ y $dv = \operatorname{sen} x\,dx$ .

2. Calculamos $du$ y $v$ . $du = 2\,dx$ y $v = -\cos x$ .

3. Aplicamos la fórmula. $-2x\cos x + \int 2\cos x\,dx$

4. Resolvemos lo que queda. $= -2x\cos x + 2\operatorname{sen} x + C$ . La integral nueva es más fácil que la original: eso confirma que la elección fue buena.

Respuesta: $-2x\cos x + 2\operatorname{sen} x + C$

7. Calculá $\int 7\ln x\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Vemos el problema. No parece un producto, pero se puede pensar como $\ln x$ multiplicado por $1$ .

2. Elegimos las partes. $u = 7\ln x$ y $dv = dx$ , porque no sabemos integrar el logaritmo pero sí derivarlo.

3. Calculamos $du$ y $v$ . $du = \dfrac{7}{x}\,dx$ y $v = x$ .

4. Aplicamos la fórmula. $7x\ln x - \int 7\,dx = 7x\ln x - 7x + C$

Respuesta: $7x\ln x - 7x + C$

8. Calculá $\int x^{4}\ln x\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Elegimos las partes. $u = \ln x$ , porque al derivar se vuelve algebraico, y $dv = x^{4}\,dx$ .

2. Calculamos $du$ y $v$ . $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ y $v = \dfrac{x^{5}}{5}$ .

3. Aplicamos la fórmula. $\dfrac{x^{5}\ln x}{5} - \int \dfrac{x^{4}}{5}\,dx$

4. Resolvemos lo que queda. $= \dfrac{x^{5}\ln x}{5} - \dfrac{x^{5}}{25} + C$

Respuesta: $\dfrac{x^{5}\ln x}{5} - \dfrac{x^{5}}{25} + C$

9. Calculá $\int 2xe^{x}\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Elegimos las partes. $u = 2x$ , porque al derivar se simplifica, y $dv = e^{x}\,dx$ , porque integrarla no la complica.

2. Calculamos $du$ y $v$ . $du = 2\,dx$ y $v = e^{x}$ .

3. Aplicamos la fórmula. $uv - \int v\,du = 2xe^{x} - \int 2e^{x}\,dx$

4. Resolvemos la integral que queda. $= 2xe^{x} - 2e^{x} + C = 2 \left(x - 1\right) e^{x} + C$

Respuesta: $2 \left(x - 1\right) e^{x} + C$

10. Calculá $\int 5x\operatorname{sen} x\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Elegimos las partes. $u = 5x$ y $dv = \operatorname{sen} x\,dx$ .

2. Calculamos $du$ y $v$ . $du = 5\,dx$ y $v = -\cos x$ .

3. Aplicamos la fórmula. $-5x\cos x + \int 5\cos x\,dx$

4. Resolvemos lo que queda. $= -5x\cos x + 5\operatorname{sen} x + C$ . La integral nueva es más fácil que la original: eso confirma que la elección fue buena.

Respuesta: $-5x\cos x + 5\operatorname{sen} x + C$

11. Calculá $\int 2\ln x\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Vemos el problema. No parece un producto, pero se puede pensar como $\ln x$ multiplicado por $1$ .

2. Elegimos las partes. $u = 2\ln x$ y $dv = dx$ , porque no sabemos integrar el logaritmo pero sí derivarlo.

3. Calculamos $du$ y $v$ . $du = \dfrac{2}{x}\,dx$ y $v = x$ .

4. Aplicamos la fórmula. $2x\ln x - \int 2\,dx = 2x\ln x - 2x + C$

Respuesta: $2x\ln x - 2x + C$

12. Calculá $\int x^{2}\ln x\,dx$ por partes.

Ver solución

1. Elegimos las partes. $u = \ln x$ , porque al derivar se vuelve algebraico, y $dv = x^{2}\,dx$ .

2. Calculamos $du$ y $v$ . $du = \dfrac{1}{x}\,dx$ y $v = \dfrac{x^{3}}{3}$ .

3. Aplicamos la fórmula. $\dfrac{x^{3}\ln x}{3} - \int \dfrac{x^{2}}{3}\,dx$

4. Resolvemos lo que queda. $= \dfrac{x^{3}\ln x}{3} - \dfrac{x^{3}}{9} + C$

Respuesta: $\dfrac{x^{3}\ln x}{3} - \dfrac{x^{3}}{9} + C$

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

← Cómo elegir la sustitución Cómo elegir u y dv →

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .