Ejercicios: Curvas que se cruzan

se parte en cada cruce y se integra por tramos

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el área encerrada entre $f(x) = x^{3} - 9 x$ y $g(x) = 0$ en $[-3, 3]$ .

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1. Buscamos todos los cortes. $x \left(x - 3\right) \left(x + 3\right) = 0$ da $x = -3$ , $x = 0$ y $x = 3$ : son tres, así que hay dos tramos.

2. Decidimos cuál está arriba en cada tramo. En $(-3, 0)$ la cúbica es positiva, así que está arriba; en $(0, 3)$ es negativa y queda abajo.

3. Integramos cada tramo con el orden correcto. $\int_{-3}^{0} (f - 0) = \dfrac{81}{4}$ y $\int_{0}^{3} (0 - f) = \dfrac{81}{4}$ .

4. Sumamos. $A = \dfrac{81}{2}$ unidades de área.

Respuesta: $\dfrac{81}{2}$ unidades de área

2. Explicá qué pasa si el área entre $f(x) = x^{3} - 16 x$ y el eje $x$ en $[-4, 4]$ se calcula con una sola integral.

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1. Calculamos de un tirón. $\int_{-4}^{4} \left(x^{3} - 16 x\right)\,dx = 0$

2. Vemos por qué da eso. La función es impar, así que el tramo de la izquierda aporta positivo y el de la derecha aporta exactamente lo mismo en negativo.

3. Interpretamos. Los aportes se cancelan entre sí, y el cero no dice que no haya región encerrada: dice que las dos partes tienen la misma área.

4. Escribimos el procedimiento correcto. Hay que partir en cada cruce, integrar arriba menos abajo en cada tramo y sumar los resultados, que es lo que da el área real.

Respuesta: da cero, porque los aportes de los dos tramos se cancelan: hay que partir en cada cruce

3. Calculá el área encerrada entre $f(x) = x^{3}$ y $g(x) = x$ .

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1. Buscamos los cortes. $x^{3} = x$ da $x(x^{2} - 1) = 0$ , o sea $x = -1$ , $x = 0$ y $x = 1$ .

2. Decidimos el orden en el primer tramo. En $x = - \dfrac{1}{2}$ la cúbica está por encima de la recta.

3. Decidimos el orden en el segundo. Entre $0$ y $1$ se invierte: la recta pasa a estar arriba.

4. Integramos por tramos y sumamos. $A = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ unidades de área.

Respuesta: $\dfrac{1}{2}$ unidades de área

4. Usá la simetría para calcular el área entre $f(x) = x^{3}$ y $g(x) = 36x$ en $[-6, 6]$ .

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1. Estudiamos la paridad de la diferencia. $f - g = x^{3} - 36 x$ es impar, porque los dos exponentes son impares.

2. Interpretamos qué implica. Una diferencia impar significa que la región de la izquierda es la de la derecha rotada media vuelta: tienen la misma área.

3. Calculamos solo un tramo. $\left|\int_{0}^{6} (f - g)\right| = 324$

4. Duplicamos. $A = 2 \cdot 324 = 648$ unidades de área. La simetría ahorra la mitad de la cuenta, pero solo después de verificarla.

Respuesta: $648$ unidades de área

5. Calculá el área encerrada entre $f(x) = x^{3} - 36 x$ y $g(x) = 0$ en $[-6, 6]$ .

Ver solución

1. Buscamos todos los cortes. $x \left(x - 6\right) \left(x + 6\right) = 0$ da $x = -6$ , $x = 0$ y $x = 6$ : son tres, así que hay dos tramos.

2. Decidimos cuál está arriba en cada tramo. En $(-6, 0)$ la cúbica es positiva, así que está arriba; en $(0, 6)$ es negativa y queda abajo.

3. Integramos cada tramo con el orden correcto. $\int_{-6}^{0} (f - 0) = 324$ y $\int_{0}^{6} (0 - f) = 324$ .

4. Sumamos. $A = 648$ unidades de área.

Respuesta: $648$ unidades de área

6. Explicá qué pasa si el área entre $f(x) = x^{3} - 9 x$ y el eje $x$ en $[-3, 3]$ se calcula con una sola integral.

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1. Calculamos de un tirón. $\int_{-3}^{3} \left(x^{3} - 9 x\right)\,dx = 0$

2. Vemos por qué da eso. La función es impar, así que el tramo de la izquierda aporta positivo y el de la derecha aporta exactamente lo mismo en negativo.

3. Interpretamos. Los aportes se cancelan entre sí, y el cero no dice que no haya región encerrada: dice que las dos partes tienen la misma área.

4. Escribimos el procedimiento correcto. Hay que partir en cada cruce, integrar arriba menos abajo en cada tramo y sumar los resultados, que es lo que da el área real.

Respuesta: da cero, porque los aportes de los dos tramos se cancelan: hay que partir en cada cruce

7. Calculá el área encerrada entre $f(x) = x^{3}$ y $g(x) = 36x$ .

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1. Buscamos los cortes. $x^{3} = 36x$ da $x(x^{2} - 36) = 0$ , o sea $x = -6$ , $x = 0$ y $x = 6$ .

2. Decidimos el orden en el primer tramo. En $x = -3$ la cúbica está por encima de la recta.

3. Decidimos el orden en el segundo. Entre $0$ y $6$ se invierte: la recta pasa a estar arriba.

4. Integramos por tramos y sumamos. $A = 324 + 324 = 648$ unidades de área.

Respuesta: $648$ unidades de área

8. Usá la simetría para calcular el área entre $f(x) = x^{3}$ y $g(x) = x$ en $[-1, 1]$ .

Ver solución

1. Estudiamos la paridad de la diferencia. $f - g = x^{3} - x$ es impar, porque los dos exponentes son impares.

2. Interpretamos qué implica. Una diferencia impar significa que la región de la izquierda es la de la derecha rotada media vuelta: tienen la misma área.

3. Calculamos solo un tramo. $\left|\int_{0}^{1} (f - g)\right| = \dfrac{1}{4}$

4. Duplicamos. $A = 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$ unidades de área. La simetría ahorra la mitad de la cuenta, pero solo después de verificarla.

Respuesta: $\dfrac{1}{2}$ unidades de área

9. Calculá el área encerrada entre $f(x) = x^{3} - 4 x$ y $g(x) = 0$ en $[-2, 2]$ .

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1. Buscamos todos los cortes. $x \left(x - 2\right) \left(x + 2\right) = 0$ da $x = -2$ , $x = 0$ y $x = 2$ : son tres, así que hay dos tramos.

2. Decidimos cuál está arriba en cada tramo. En $(-2, 0)$ la cúbica es positiva, así que está arriba; en $(0, 2)$ es negativa y queda abajo.

3. Integramos cada tramo con el orden correcto. $\int_{-2}^{0} (f - 0) = 4$ y $\int_{0}^{2} (0 - f) = 4$ .

4. Sumamos. $A = 8$ unidades de área.

Respuesta: $8$ unidades de área

10. Explicá qué pasa si el área entre $f(x) = x^{3} - 4 x$ y el eje $x$ en $[-2, 2]$ se calcula con una sola integral.

Ver solución

1. Calculamos de un tirón. $\int_{-2}^{2} \left(x^{3} - 4 x\right)\,dx = 0$

2. Vemos por qué da eso. La función es impar, así que el tramo de la izquierda aporta positivo y el de la derecha aporta exactamente lo mismo en negativo.

3. Interpretamos. Los aportes se cancelan entre sí, y el cero no dice que no haya región encerrada: dice que las dos partes tienen la misma área.

4. Escribimos el procedimiento correcto. Hay que partir en cada cruce, integrar arriba menos abajo en cada tramo y sumar los resultados, que es lo que da el área real.

Respuesta: da cero, porque los aportes de los dos tramos se cancelan: hay que partir en cada cruce

11. Calculá el área encerrada entre $f(x) = x^{3}$ y $g(x) = 9x$ .

Ver solución

1. Buscamos los cortes. $x^{3} = 9x$ da $x(x^{2} - 9) = 0$ , o sea $x = -3$ , $x = 0$ y $x = 3$ .

2. Decidimos el orden en el primer tramo. En $x = - \dfrac{3}{2}$ la cúbica está por encima de la recta.

3. Decidimos el orden en el segundo. Entre $0$ y $3$ se invierte: la recta pasa a estar arriba.

4. Integramos por tramos y sumamos. $A = \dfrac{81}{4} + \dfrac{81}{4} = \dfrac{81}{2}$ unidades de área.

Respuesta: $\dfrac{81}{2}$ unidades de área

12. Usá la simetría para calcular el área entre $f(x) = x^{3}$ y $g(x) = 16x$ en $[-4, 4]$ .

Ver solución

1. Estudiamos la paridad de la diferencia. $f - g = x^{3} - 16 x$ es impar, porque los dos exponentes son impares.

2. Interpretamos qué implica. Una diferencia impar significa que la región de la izquierda es la de la derecha rotada media vuelta: tienen la misma área.

3. Calculamos solo un tramo. $\left|\int_{0}^{4} (f - g)\right| = 64$

4. Duplicamos. $A = 2 \cdot 64 = 128$ unidades de área. La simetría ahorra la mitad de la cuenta, pero solo después de verificarla.

Respuesta: $128$ unidades de área

Integradores de Integrales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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