Ejercicios: Integración por fracciones simples

2. Factorizamos y planteamos. $x^{2} - 7 x + 10 = (x - 2)(x - 5)$, así que $\dfrac{1}{(x - 2)(x - 5)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 5}$.

3. Hallamos $A$ y $B$. Multiplicando por el denominador: $1 = A(x - 5) + B(x - 2)$. En $x = 2$ queda $A = - \dfrac{1}{3}$ y en $x = 5$, $B = \dfrac{1}{3}$.

4. Integramos cada fracción. $- \dfrac{1}{3}\ln|x - 2| + \dfrac{1}{3}\ln|x - 5| + C$. Cada fracción simple da un logaritmo.

Respuesta: $- \dfrac{1}{3}\ln|x - 2| + \dfrac{1}{3}\ln|x - 5| + C$

2. Evaluamos en una raíz. Con $x = 1$: $1 = A(1 - 2)$, así que $A = -1$.

3. Evaluamos en la otra. Con $x = 2$: $2 = B(2 - 1)$, así que $B = 2$.

4. Integramos. $-1\ln|x - 1| + 2\ln|x - 2| + C$

Respuesta: $A = -1$, $B = 2$, y la integral es $-1\ln|x - 1| + 2\ln|x - 2| + C$

2. Hacemos la división. $x^{2}$ dividido $x - 5$ da cociente $x + 5$ y resto $25$, porque $(x - 5)(x + 5) = x^{2} - 25$ y falta $25$ para llegar a $x^{2}$.

3. Reescribimos el integrando. $\dfrac{x^{2}}{x - 5} = x + 5 + \dfrac{25}{x - 5}$, que ahora sí es una suma de cosas que sabemos integrar.

4. Integramos término por término. $\int \left(x + 5\right)\,dx = \dfrac{x^{2}}{2} + 5x$, y $\int \dfrac{25}{x - 5}\,dx = 25\ln|x - 5|$, porque el numerador es constante y el denominador lineal.

5. Armamos el resultado. $\dfrac{x^{2}}{2} + 5x + 25\ln|x - 5| + C$. Saltear la división es el error típico del tema: sin ella la descomposición no existe.

Respuesta: $\dfrac{x^{2}}{2} + 5x + 25\ln|x - 5| + C$

2. Planteamos la descomposición. $\dfrac{1}{x(x - 6)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 6}$

3. Hallamos las constantes. $1 = A(x - 6) + Bx$. En $x = 0$: $A = - \dfrac{1}{6}$. En $x = 6$: $B = \dfrac{1}{6}$.

4. Integramos. $- \dfrac{1}{6}\ln|x| + \dfrac{1}{6}\ln|x - 6| + C$, que también se puede escribir como $\dfrac{1}{6}\ln\left|\dfrac{x - 6}{x}\right| + C$.

Respuesta: $- \dfrac{1}{6}\ln|x| + \dfrac{1}{6}\ln|x - 6| + C$

2. Factorizamos y planteamos. $x^{2} - 9 x + 14 = (x - 2)(x - 7)$, así que $\dfrac{1}{(x - 2)(x - 7)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x - 7}$.

3. Hallamos $A$ y $B$. Multiplicando por el denominador: $1 = A(x - 7) + B(x - 2)$. En $x = 2$ queda $A = - \dfrac{1}{5}$ y en $x = 7$, $B = \dfrac{1}{5}$.

4. Integramos cada fracción. $- \dfrac{1}{5}\ln|x - 2| + \dfrac{1}{5}\ln|x - 7| + C$. Cada fracción simple da un logaritmo.

Respuesta: $- \dfrac{1}{5}\ln|x - 2| + \dfrac{1}{5}\ln|x - 7| + C$

2. Evaluamos en una raíz. Con $x = 3$: $3 = A(3 - 5)$, así que $A = - \dfrac{3}{2}$.

3. Evaluamos en la otra. Con $x = 5$: $5 = B(5 - 3)$, así que $B = \dfrac{5}{2}$.

4. Integramos. $- \dfrac{3}{2}\ln|x - 3| + \dfrac{5}{2}\ln|x - 5| + C$

Respuesta: $A = - \dfrac{3}{2}$, $B = \dfrac{5}{2}$, y la integral es $- \dfrac{3}{2}\ln|x - 3| + \dfrac{5}{2}\ln|x - 5| + C$

2. Hacemos la división. $x^{2}$ dividido $x - 3$ da cociente $x + 3$ y resto $9$, porque $(x - 3)(x + 3) = x^{2} - 9$ y falta $9$ para llegar a $x^{2}$.

3. Reescribimos el integrando. $\dfrac{x^{2}}{x - 3} = x + 3 + \dfrac{9}{x - 3}$, que ahora sí es una suma de cosas que sabemos integrar.

4. Integramos término por término. $\int \left(x + 3\right)\,dx = \dfrac{x^{2}}{2} + 3x$, y $\int \dfrac{9}{x - 3}\,dx = 9\ln|x - 3|$, porque el numerador es constante y el denominador lineal.

5. Armamos el resultado. $\dfrac{x^{2}}{2} + 3x + 9\ln|x - 3| + C$. Saltear la división es el error típico del tema: sin ella la descomposición no existe.

Respuesta: $\dfrac{x^{2}}{2} + 3x + 9\ln|x - 3| + C$

2. Planteamos la descomposición. $\dfrac{1}{x(x - 4)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 4}$

3. Hallamos las constantes. $1 = A(x - 4) + Bx$. En $x = 0$: $A = - \dfrac{1}{4}$. En $x = 4$: $B = \dfrac{1}{4}$.

4. Integramos. $- \dfrac{1}{4}\ln|x| + \dfrac{1}{4}\ln|x - 4| + C$, que también se puede escribir como $\dfrac{1}{4}\ln\left|\dfrac{x - 4}{x}\right| + C$.

Respuesta: $- \dfrac{1}{4}\ln|x| + \dfrac{1}{4}\ln|x - 4| + C$

2. Factorizamos y planteamos. $x^{2} - 6 x + 5 = (x - 1)(x - 5)$, así que $\dfrac{1}{(x - 1)(x - 5)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x - 5}$.

3. Hallamos $A$ y $B$. Multiplicando por el denominador: $1 = A(x - 5) + B(x - 1)$. En $x = 1$ queda $A = - \dfrac{1}{4}$ y en $x = 5$, $B = \dfrac{1}{4}$.

4. Integramos cada fracción. $- \dfrac{1}{4}\ln|x - 1| + \dfrac{1}{4}\ln|x - 5| + C$. Cada fracción simple da un logaritmo.

Respuesta: $- \dfrac{1}{4}\ln|x - 1| + \dfrac{1}{4}\ln|x - 5| + C$

2. Evaluamos en una raíz. Con $x = 1$: $1 = A(1 - 3)$, así que $A = - \dfrac{1}{2}$.

3. Evaluamos en la otra. Con $x = 3$: $3 = B(3 - 1)$, así que $B = \dfrac{3}{2}$.

4. Integramos. $- \dfrac{1}{2}\ln|x - 1| + \dfrac{3}{2}\ln|x - 3| + C$

Respuesta: $A = - \dfrac{1}{2}$, $B = \dfrac{3}{2}$, y la integral es $- \dfrac{1}{2}\ln|x - 1| + \dfrac{3}{2}\ln|x - 3| + C$

2. Hacemos la división. $x^{2}$ dividido $x - 6$ da cociente $x + 6$ y resto $36$, porque $(x - 6)(x + 6) = x^{2} - 36$ y falta $36$ para llegar a $x^{2}$.

3. Reescribimos el integrando. $\dfrac{x^{2}}{x - 6} = x + 6 + \dfrac{36}{x - 6}$, que ahora sí es una suma de cosas que sabemos integrar.

4. Integramos término por término. $\int \left(x + 6\right)\,dx = \dfrac{x^{2}}{2} + 6x$, y $\int \dfrac{36}{x - 6}\,dx = 36\ln|x - 6|$, porque el numerador es constante y el denominador lineal.

5. Armamos el resultado. $\dfrac{x^{2}}{2} + 6x + 36\ln|x - 6| + C$. Saltear la división es el error típico del tema: sin ella la descomposición no existe.

Respuesta: $\dfrac{x^{2}}{2} + 6x + 36\ln|x - 6| + C$

2. Planteamos la descomposición. $\dfrac{1}{x(x - 5)} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x - 5}$

3. Hallamos las constantes. $1 = A(x - 5) + Bx$. En $x = 0$: $A = - \dfrac{1}{5}$. En $x = 5$: $B = \dfrac{1}{5}$.

4. Integramos. $- \dfrac{1}{5}\ln|x| + \dfrac{1}{5}\ln|x - 5| + C$, que también se puede escribir como $\dfrac{1}{5}\ln\left|\dfrac{x - 5}{x}\right| + C$.

Respuesta: $- \dfrac{1}{5}\ln|x| + \dfrac{1}{5}\ln|x - 5| + C$