Integradores de Sucesiones, series y Taylor

1. Evaluamos. $a_1 = \dfrac{4}{3}$, $a_2 = \dfrac{7}{4}$ y $a_3 = 2$.

2. Decimos qué es. Una sucesión le asigna a cada número natural un número real. Acá la regla es la misma fórmula para todo $n$.

3. Marcamos la diferencia con una función. El dominio son solo los naturales, así que el gráfico son puntos sueltos y no una curva. Preguntar por $a_{1{,}5}$ no tiene sentido.

Respuesta: $a_1 = \dfrac{4}{3}$, $a_2 = \dfrac{7}{4}$ y $a_3 = 2$

b)

1. Miramos los grados. Numerador y denominador son los dos de grado uno en $n$.

2. Dividimos por $n$. $\dfrac{3 + \dfrac{1}{n}}{1 + \dfrac{2}{n}}$, y las dos fracciones tienden a cero.

3. Tomamos el límite. $\lim_{n \to \infty} a_n = 3$: la sucesión converge.

4. Lo cruzamos con a). Los términos de a) venían subiendo desde $\dfrac{4}{3}$, y este es el techo al que se acercan.

Respuesta: converge a $3$

c)

1. Restamos dos términos consecutivos. $a_{n+1} - a_n = \dfrac{3n + 4}{n + 3} - \dfrac{3n + 1}{n + 2} = \dfrac{5}{n^{2} + 5 n + 6}$.

2. Miramos el signo. Numerador y denominador son positivos para todo $n$ natural, así que la diferencia es positiva: la sucesión es estrictamente creciente.

3. Buscamos una cota. $a_n = 3 - \dfrac{5}{n + 2}$, y el término que se resta es positivo, así que $a_n < 3$ siempre.

4. Cerramos. Creciente y acotada por $3$. Eso ya garantiza que converge, sin necesidad de calcular el límite, y b) confirma que el límite es justamente la cota.

Respuesta: es creciente y está acotada por $3$

d)

1. Aplicamos la regla. $b_2 = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$ y $b_3 = \dfrac{2 + 3}{2} = \dfrac{5}{2}$.

2. Suponemos que converge. Si $b_n \to \ell$, entonces $b_{n+1} \to \ell$ también, porque es la misma sucesión corrida un lugar.

3. Pasamos al límite en la recurrencia. $\ell = \dfrac{\ell + 3}{2}$, o sea $2\ell = \ell + 3$ y $\ell = 3$.

4. Justificamos el supuesto. Los términos crecen y ninguno pasa de $3$, así que por el mismo argumento de c) la sucesión converge. Notar que llega al mismo límite que $a_n$ por un camino completamente distinto.

Respuesta: $b_2 = 2$, $b_3 = \dfrac{5}{2}$ y el límite es $3$

1. Reconocemos la forma. La base tiende a $1$ y el exponente a $+\infty$: es la indeterminación $1^{\infty}$, la que define el número $e$.

2. Recordamos el límite base. $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = e$.

3. Acomodamos el exponente. $\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^{n} = \left[\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}}\right]^{2}$, y lo de adentro tiende a $e$.

4. Cerramos. $\lim_{n \to \infty} a_n = e^{2} \approx 7{,}3891$. El $2$ del numerador termina en el exponente, no multiplicando.

Respuesta: $\lim_{n \to \infty} a_n = e^{2} \approx 7{,}3891$

b)

1. Damos la definición. Converger a $\ell$ significa que, fijada cualquier tolerancia, desde algún término en adelante todos quedan a menos de esa distancia de $\ell$.

2. Lo aplicamos. Con el límite de a), a partir de cierto $n$ todos los términos están tan cerca de $e^{2}$ como se quiera.

3. Marcamos lo que no significa. No significa que algún término valga $e^{2}$. De hecho ninguno lo vale: el límite es un destino, no un valor alcanzado.

Respuesta: los términos se acercan a $e^{2} \approx 7{,}3891$ tanto como se quiera, sin alcanzarlo

c)

1. Miramos el crecimiento. Los primeros términos son $a_1 = 3$ y $a_2 = 4$: va subiendo.

2. Damos la cota. Ningún término supera el límite de a): $a_n < e^{2}$ para todo $n$.

3. Enunciamos el teorema. Toda sucesión creciente y acotada superiormente converge, y converge al supremo de sus valores.

4. Marcamos la ventaja. El teorema da la convergencia sin calcular el límite. Es lo que se usa cuando la sucesión viene por recurrencia y no hay fórmula cerrada.

Respuesta: está acotada por $e^{2}$, y creciente más acotada implica convergente

d)

1. Evaluamos el primero. $a_1 = \left(1 + 2\right)^{1} = 3$.

2. Evaluamos el segundo. $a_2 = \left(1 + 1\right)^{2} = 4$.

3. Comparamos. Los dos están por debajo de $7{,}3891$, coherente con la cota de c).

4. Miramos cuánto falta. $a_2$ ya vale $4$ y el límite es $\approx 7{,}3891$: la convergencia es lenta, y por eso este límite se calcula y no se estima con los primeros términos.

Respuesta: $a_1 = 3$ y $a_2 = 4$, los dos por debajo del límite

1. Calculamos los términos. $a_1 = \dfrac{3}{2}$, $a_2 = \dfrac{3}{4}$ y $a_3 = \dfrac{3}{8}$.

2. Sumamos de a uno. $S_1 = \dfrac{3}{2}$, $S_2 = \dfrac{9}{4}$ y $S_3 = \dfrac{21}{8}$.

3. Decimos qué es la suma. La suma de la serie no es una suma de infinitos números: es el límite de la sucesión de sumas parciales, si ese límite existe.

4. Miramos hacia dónde van. $\dfrac{3}{2}$, $\dfrac{9}{4}$, $\dfrac{21}{8}$: crecen y parece que se frenan. La consigna siguiente dice dónde.

Respuesta: $S_1 = \dfrac{3}{2}$, $S_2 = \dfrac{9}{4}$ y $S_3 = \dfrac{21}{8}$

b)

1. Buscamos la razón. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{2}$, constante: es geométrica.

2. Anotamos el primer término. $a_1 = \dfrac{3}{2}$.

3. Chequeamos la condición. $\left|\dfrac{1}{2}\right| < 1$, así que la serie converge. Si la razón fuera mayor o igual que uno en módulo, divergiría.

4. Aplicamos la fórmula. $S = \dfrac{a_1}{1 - r} = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = 3$.

Respuesta: es geométrica de primer término $\dfrac{3}{2}$ y razón $\dfrac{1}{2}$, y converge a $3$

c)

1. Escribimos la sucesión. La sucesión de sumas parciales es $S_1, S_2, S_3, \ldots$, la de a).

2. Damos su límite. Por b), converge a $3$.

3. Verificamos con los términos de a). $\dfrac{21}{8}$ ya está cerca de $3$, y cada suma parcial nueva achica la diferencia a la mitad.

4. Distinguimos las dos sucesiones. La de términos $a_n$ tiende a cero, y la de sumas parciales tiende a $3$. Son cosas distintas y confundirlas es el error central del tema.

Respuesta: la sucesión de sumas parciales converge a $3$

d)

1. Escribimos la armónica. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$, cuyo término tiende a cero igual que el de esta serie.

2. Agrupamos sus términos. $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{2}$, y $\dfrac{1}{5} + \cdots + \dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{2}$: cada bloque aporta más de un medio.

3. Sacamos la conclusión. Se pueden armar infinitos bloques, así que las sumas parciales crecen sin techo: la armónica diverge.

4. Enunciamos la regla. Que el término tienda a cero es necesario pero no suficiente. Lo que sí sirve es al revés: si el término no tiende a cero, la serie seguro diverge.

Respuesta: la armónica diverge aunque su término tienda a cero

1. Identificamos el exponente. Una $p$-serie es $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^{p}}$, y acá $p = 2$.

2. Aplicamos el criterio. Las $p$-series convergen si $p > 1$ y divergen si $p \leq 1$.

3. Concluimos. $2 > 1$, así que converge.

4. Marcamos el borde. El caso $p = 1$ es la armónica, que diverge. El corte está justo ahí, y por eso conviene tener el número $p$ a la vista antes de decidir nada.

Respuesta: converge, porque $p = 2$ es mayor que $1$

b)

1. Comparamos los términos. Para todo $n$ natural, $n^{2} + n > n^{2}$, así que $\dfrac{1}{n^{2} + n} < \dfrac{1}{n^{2}}$.

2. Chequeamos las hipótesis. Los dos términos son positivos, que es lo que el criterio pide.

3. Aplicamos el criterio. Si la serie mayor converge, la menor también. Por a), la mayor converge.

4. Concluimos. La serie del enunciado converge. Notar que el criterio dice que converge, no a cuánto: eso lo resuelve la consigna siguiente.

Respuesta: converge, por comparación con la $p$-serie de a)

c)

1. Descomponemos el término. $\dfrac{1}{n^{2} + n} = \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}$.

2. Escribimos la suma parcial. $S_N = \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{N} - \dfrac{1}{N + 1}\right)$.

3. Cancelamos. Todo se va salvo el primero y el último: $S_N = 1 - \dfrac{1}{N + 1}$.

4. Tomamos el límite. $\lim_{N \to \infty} S_N = 1$. Es una de las pocas series donde se puede dar la suma exacta y no solo decidir si converge.

Respuesta: la suma vale $1$

d)

1. Chequeamos las hipótesis. $f(x) = \dfrac{1}{x^{2}}$ es positiva, continua y decreciente para $x \geq 1$, que es lo que el criterio pide.

2. Planteamos la impropia. $\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^{2}}\, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^{b}$.

3. Resolvemos. $= \lim_{b \to +\infty} \left(1 - \dfrac{1}{b}\right) = 1$: la integral converge, así que la serie de a) también.

4. Aclaramos un malentendido. La integral vale $1$ y la suma de $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^{2}}$ vale $\dfrac{\pi^{2}}{6}$: el criterio decide si converge, no cuánto da.

Respuesta: la integral vale $1$, así que la serie converge

1. Armamos el cociente. $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{n + 1}{2^{n+1}} \cdot \dfrac{2^{n}}{n} = \dfrac{n + 1}{2n}$.

2. Tomamos el límite. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n + 1}{2n} = \dfrac{1}{2}$.

3. Aplicamos el criterio. $\dfrac{1}{2} < 1$, así que la serie converge, y además converge absolutamente.

4. Marcamos el caso que no sirve. Si el límite diera exactamente $1$, el criterio no decidiría nada y habría que buscar otro.

Respuesta: el límite del cociente es $\dfrac{1}{2}$, menor que $1$: converge

b)

1. Armamos la raíz. $\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{\sqrt[n]{n}}{2}$.

2. Usamos un límite conocido. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$: la raíz $n$-ésima aplasta cualquier potencia de $n$.

3. Tomamos el límite. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \dfrac{1}{2}$, el mismo valor que dio el cociente en a).

4. Decimos cuándo conviene cada uno. La raíz es mejor cuando hay potencias $n$-ésimas y el cociente cuando hay factoriales. Acá los dos funcionan y dan lo mismo, que es lo esperable.

Respuesta: el límite de la raíz es $\dfrac{1}{2}$, menor que $1$: converge, igual que en a)

c)

1. Partimos de la geométrica. Para $|t| < 1$, $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} t^{n} = \dfrac{1}{1 - t}$.

2. Derivamos y multiplicamos por $t$. Derivando respecto de $t$ y multiplicando por $t$ queda $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n t^{n} = \dfrac{t}{(1 - t)^{2}}$.

3. Reemplazamos. Con $t = \dfrac{1}{2}$: $\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}} = 2$.

4. Lo cruzamos con a) y b). Los dos criterios decían que converge, y acá aparece a cuánto: $2$. Decidir la convergencia y calcular la suma son dos problemas distintos.

Respuesta: la suma vale $2$

d)

1. Comparamos los denominadores. $2^{n} + n > 2^{n}$ para todo $n$ natural.

2. Comparamos los términos. Con el mismo numerador y denominador más grande, $\dfrac{n}{2^{n} + n} < \dfrac{n}{2^{n}}$.

3. Aplicamos el criterio. La serie mayor es la del enunciado, que converge por a). Entonces la menor también converge.

4. Aclaramos el alcance. La suma de la nueva serie es menor que $2$, pero el criterio no dice cuánto: solo acota.

Respuesta: converge, por comparación con la serie del enunciado

1. Chequeamos que es alternada. El factor $(-1)^{n}$ hace que los términos cambien de signo uno por uno.

2. Chequeamos que el módulo decrece. $\dfrac{1}{n + 1} < \dfrac{1}{n}$ para todo $n$ natural.

3. Chequeamos que tiende a cero. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0$.

4. Aplicamos Leibniz. Las tres condiciones se cumplen, así que la serie converge. Su suma es $-\ln(2)$, aunque el criterio no lo dice.

Respuesta: converge por Leibniz: es alternada, el módulo decrece y tiende a cero

b)

1. Escribimos la serie de módulos. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left|\dfrac{(-1)^{n}}{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$, que es la armónica.

2. Comparamos con una $p$-serie. Es la $p$-serie con $p = 1$, el caso de borde, y diverge.

3. Sacamos la conclusión. La serie no converge absolutamente.

4. Le ponemos nombre. Converge por a) pero no absolutamente: se dice que converge condicionalmente. En esas series el orden de los términos importa, y reordenarlos puede cambiar la suma.

Respuesta: no converge absolutamente: la serie de módulos es la armónica, que diverge

c)

1. Armamos el cociente. $\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \dfrac{n}{n + 1}$.

2. Tomamos el límite. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n + 1} = 1$.

3. Vemos el problema. El límite dio exactamente $1$, que es el caso en el que el criterio no decide.

4. Sacamos la moraleja. No es que la serie no converja: es que este criterio no sirve para decidirlo. La respuesta la dieron a) y b), no este cálculo.

Respuesta: el límite es $1$: el criterio del cociente no decide

d)

1. Armamos la raíz. $\sqrt[n]{|a_n|} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{n}}$.

2. Usamos el límite conocido. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$.

3. Tomamos el límite. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1$: tampoco decide.

4. Explicamos por qué era previsible. Cuando el cociente da uno, la raíz casi siempre da uno también: los dos criterios miden lo mismo, cuán rápido decrece el término, y ninguno distingue las velocidades de decrecimiento tipo potencia.

Respuesta: el límite es $1$: el criterio de la raíz no decide, igual que el del cociente

1. Calculamos las derivadas. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$, así que en $0$ todas valen $1$.

2. Escribimos la fórmula. $P_{3}(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{3} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}$.

3. Reemplazamos. $P_{3}(x) = \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1$.

4. Qué es. Es el polinomio que coincide con $f$ en el valor y en las tres primeras derivadas en el punto. Cerca de $0$ se le parece mucho, y lejos deja de parecerse.

Respuesta: $P_{3}(x) = \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1$

b)

1. Extendemos el patrón de a). Cada término suma una potencia dividida por su factorial.

2. Escribimos la serie. $e^{x} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^{k}}{k!}$.

3. Damos el dominio. Converge para todo $x$ real, no solo cerca de cero: el radio de convergencia es infinito.

4. Lo conectamos con a). El polinomio $\dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1$ es la serie cortada en el término de grado $3$. Todo lo que se descarta es el error.

Respuesta: $e^{x} = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{x^{k}}{k!}$, para todo $x$ real

c)

1. Escribimos la fórmula. $R_{3}(x) = \dfrac{f^{(4)}(c)}{(4)!}x^{4}$, con $c$ entre $0$ y $x$.

2. Reemplazamos la derivada. Como todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$: $R_{3}(x) = \dfrac{e^{c}}{24}x^{4}$.

3. Decimos qué mide. Es exactamente la diferencia entre $f(x)$ y el polinomio de a): $f(x) = P_{3}(x) + R_{3}(x)$.

4. Marcamos el límite del método. El punto $c$ existe pero no se sabe cuál es. Por eso el resto no se calcula: se acota, que es lo que hace la consigna siguiente.

Respuesta: $R_{3}(x) = \dfrac{e^{c}}{24}x^{4}$, con $c$ entre $0$ y $x$

d)

1. Evaluamos el polinomio. $P_{3}\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{79}{48} \approx 1{,}6458$.

2. Acotamos la derivada. En el intervalo $\left[0, \dfrac{1}{2}\right]$, $e^{c}$ es creciente y no pasa de $e^{0{,}5} \approx 1{,}6487$, así que sirve la cota $M = 2$.

3. Aplicamos la cota al resto de c). $\left|R_{3}\right| \leq \dfrac{2}{24} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{192} \approx 0{,}0052$.

4. Verificamos. El valor real es $\approx 1{,}6487$ y la estimación dio $\approx 1{,}6458$: el error verdadero es $\approx 0{,}0029$, bastante menor que la cota, como tiene que ser.

Respuesta: $e^{0{,}5} \approx 1{,}6458$, con error acotado por $\dfrac{1}{192} \approx 0{,}0052$

1. Escribimos la serie. $\operatorname{sen}(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}x^{2k+1}$.

2. Miramos las derivadas en cero. Las derivadas del seno rotan entre $\operatorname{sen}$, $\cos$, $-\operatorname{sen}$ y $-\cos$, y en $0$ valen $0$, $1$, $0$, $-1$.

3. Explicamos las potencias que faltan. Las derivadas de orden par valen cero en $0$, así que sus términos desaparecen y quedan solo las potencias impares.

4. Lo cruzamos con la paridad. Tiene sentido: el seno es una función impar y su serie tiene solo potencias impares.

Respuesta: $P_{3}(x) = - \dfrac{x^{3}}{6} + x$

b)

1. Evaluamos el polinomio. Tomamos el polinomio de a) y lo evaluamos: $P_{3}\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{23}{48} \approx 0{,}4792$.

2. Acotamos la derivada cuarta. La derivada de orden $4$ del seno es $\operatorname{sen}(x)$, y su módulo nunca pasa de $1$: sirve $M = 1$ en cualquier intervalo.

3. Aplicamos la cota. $\left|R_{3}\right| \leq \dfrac{1}{24} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{384} \approx 0{,}0026$.

4. Verificamos. El valor real es $\approx 0{,}4794$: el error verdadero es $\approx 0{,}0003$, por debajo de la cota.

Respuesta: $\operatorname{sen}(0{,}5) \approx 0{,}4792$, con error acotado por $\dfrac{1}{384} \approx 0{,}0026$

c)

1. Escribimos la fórmula. $R_{3}(x) = \dfrac{g^{(4)}(c)}{(4)!}x^{4}$, con $c$ entre $0$ y $x$.

2. Reemplazamos la derivada. $R_{3}(x) = \dfrac{\operatorname{sen}(c)}{24}x^{4}$.

3. Comparamos con la exponencial. Todas las derivadas del seno están acotadas por $1$ en toda la recta, así que la cota vale en cualquier intervalo sin mirar dónde está $c$.

4. Marcamos la diferencia. Con $e^{x}$ hay que acotar $e^{c}$, y esa cota depende del intervalo y crece con él. Por eso el seno se aproxima bien lejos del origen y la exponencial no.

Respuesta: $R_{3}(x) = \dfrac{\operatorname{sen}(c)}{24}x^{4}$, y su módulo se acota por $1$ en toda la recta

d)

1. Miramos qué acota el error. Por c), el resto de orden $k$ cumple $\left|R_k(x)\right| \leq \dfrac{1 \left|x\right|^{k+1}}{(k+1)!}$, porque todas las derivadas del seno están acotadas por uno.

2. Miramos qué gana la carrera. Fijado un $x$ cualquiera, el numerador crece como una potencia y el denominador como un factorial. El factorial gana siempre.

3. Tomamos el límite. $\lim_{k \to \infty} \dfrac{\left|x\right|^{k+1}}{(k+1)!} = 0$ para todo $x$ real, así que el resto se va a cero y la serie converge a la función.

4. Escribimos el radio. El radio de convergencia es infinito: la serie del seno vale en toda la recta, no solo cerca del origen. Es lo contrario de lo que pasa con una serie geométrica, donde el radio es finito.

Respuesta: el límite de la cota del resto es $0$ para todo $x$, así que el radio de convergencia es infinito y la serie vale en toda la recta

1. Escribimos los coeficientes. $c_n = \dfrac{1}{n}$.

2. Armamos el cociente. $\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \dfrac{n}{n + 1}$.

3. Tomamos el límite. $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n + 1} = 1$.

4. Calculamos el radio. $R = \dfrac{1}{1} = 1$: la serie converge para $|x| < 1$ y diverge para $|x| > 1$. Los bordes hay que estudiarlos aparte.

Respuesta: el radio de convergencia es $R = 1$

b)

1. Armamos el cociente con la $x$ adentro. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\dfrac{x^{n+1}}{n + 1} \cdot \dfrac{n}{x^{n}}\right| = |x| \cdot \dfrac{n}{n + 1}$.

2. Tomamos el límite. $\lim_{n \to \infty} |x| \cdot \dfrac{n}{n + 1} = |x|$.

3. Aplicamos el criterio. Converge si $|x| < 1$ y diverge si $|x| > 1$.

4. Lo comparamos con a). Es el mismo resultado: el radio $1$ de a) sale de pedir que este límite sea menor que uno. La fórmula del radio es este criterio, ya despejado.

Respuesta: converge si $|x| < 1$ y diverge si $|x| > 1$

c)

1. Escribimos los términos. Con $x = \dfrac{1}{2}$, el término es $\dfrac{1}{n \cdot 2^{n}}$.

2. Comparamos. Para todo $n$ natural, $\dfrac{1}{n \cdot 2^{n}} \leq \dfrac{1}{2^{n}}$.

3. Miramos la mayor. $\displaystyle\sum \dfrac{1}{2^{n}}$ es geométrica de razón $\dfrac{1}{2}$, que converge y suma $1$.

4. Concluimos. Por comparación, la serie converge en $x = \dfrac{1}{2}$, y su suma es menor que $1$. Es coherente con a): $\dfrac{1}{2}$ está adentro del radio $1$.

Respuesta: converge, por comparación con la geométrica de razón $\dfrac{1}{2}$

d)

1. Borde derecho. Con $x = 1$ queda $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}$, la armónica, que diverge.

2. Borde izquierdo. Con $x = -1$ queda $\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^{n}}{n}$, que es alternada.

3. Aplicamos Leibniz. El módulo $\dfrac{1}{n}$ decrece y tiende a cero, así que la alternada converge.

4. Escribimos el intervalo completo. La serie converge exactamente en $[-1, 1)$: un borde entra y el otro no. Por eso el radio de a) no alcanza y los extremos se estudian aparte.

Respuesta: diverge en $x = 1$ y converge en $x = -1$

1. Chequeamos las hipótesis. $f(x) = \dfrac{1}{x\left(\ln(x)\right)^{2}}$ es positiva, continua y decreciente para $x \geq 2$.

2. Resolvemos por sustitución. Con $u = \ln(x)$ y $du = \dfrac{1}{x}\, dx$ queda $\displaystyle\int \dfrac{1}{u^{2}}\, du = -\dfrac{1}{u}$.

3. Volvemos y evaluamos. $\displaystyle\int_{2}^{+\infty} f = \lim_{b \to +\infty} \left[-\dfrac{1}{\ln(x)}\right]_{2}^{b} = \dfrac{1}{\ln{\left(2 \right)}} \approx 1{,}4427$.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también.

Respuesta: la integral vale $\dfrac{1}{\ln{\left(2 \right)}} \approx 1{,}4427$, así que la serie converge

b)

1. Miramos la forma. Una $p$-serie es $\dfrac{1}{n^{p}}$ con $p$ constante. Acá el denominador tiene además un logaritmo, así que no entra en esa familia.

2. Comparamos con la armónica. $\dfrac{1}{n\left(\ln(n)\right)^{2}} < \dfrac{1}{n}$ para $n \geq 3$, porque el logaritmo al cuadrado es mayor que uno.

3. Vemos por qué no sirve. La serie mayor es la armónica, que diverge, y de eso no se deduce nada sobre la menor. El criterio de comparación solo concluye cuando la mayor converge o cuando la menor diverge.

4. Cerramos. Por eso hizo falta el criterio de la integral de a): esta serie está entre la armónica y las $p$-series con $p > 1$, y hay que mirarla más de cerca.

Respuesta: no es una $p$-serie, y la comparación con la armónica no concluye nada

c)

1. Miramos el denominador. $n$ crece y $\left(\ln(n)\right)^{2}$ también crece para $n \geq 2$, así que el producto crece.

2. Sacamos el sentido. Con numerador constante y denominador creciente, la sucesión es decreciente.

3. Damos las cotas. Está acotada arriba por su primer término, $a_2 = \dfrac{1}{2 \ln{\left(2 \right)}^{2}} \approx 1{,}0407$, y abajo por cero, porque todos los términos son positivos.

4. Aclaramos qué no dice. Que los términos decrezcan a cero es necesario para que la serie converja, pero no alcanza: la armónica de b) también lo cumple y diverge igual. La convergencia la decidió a).

Respuesta: es decreciente y está acotada entre $0$ y $a_2 = \dfrac{1}{2 \ln{\left(2 \right)}^{2}} \approx 1{,}0407$

d)

1. Escribimos la recurrencia. $S_2 = a_2$ y $S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$: cada suma parcial es la anterior más un término.

2. Calculamos los términos. $a_2 = \dfrac{1}{2 \ln{\left(2 \right)}^{2}} \approx 1{,}0407$ y $a_3 = \dfrac{1}{3 \ln{\left(3 \right)}^{2}} \approx 0{,}2762$.

3. Aplicamos la recurrencia. $S_2 = \dfrac{1}{2 \ln{\left(2 \right)}^{2}} \approx 1{,}0407$ y $S_3 = S_2 + a_3 \approx 1{,}3169$.

4. Miramos hacia dónde va. Por a) la serie converge, así que esta recurrencia tiene límite finito. Los incrementos se achican por c), pero muy despacio: es una serie que converge lentísimo.

Respuesta: $S_2 \approx 1{,}0407$ y $S_3 \approx 1{,}3169$

1. Aplicamos la regla dos veces. $b_2 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}$ y $b_3 = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{2} + 1 = \dfrac{7}{4}$.

2. Suponemos que converge. Si $b_n \to \ell$, la sucesión corrida un lugar tiende al mismo $\ell$.

3. Pasamos al límite. $\ell = \dfrac{\ell}{2} + 1$, o sea $\dfrac{\ell}{2} = 1$ y $\ell = 2$.

4. Justificamos el supuesto. Los términos crecen y ninguno llega a $2$, así que es creciente y acotada, y por lo tanto converge.

Respuesta: $b_2 = \dfrac{3}{2}$, $b_3 = \dfrac{7}{4}$ y el límite es $2$

b)

1. Evaluamos. $a_1 = 2^{1} = 2$ y $a_2 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}$.

2. Nombramos las dos formas. $a_n$ está dada por una fórmula explícita: se puede calcular cualquier término directamente.

3. La otra forma. $b_n$ está dada por recurrencia: para llegar a $b_{100}$ hay que pasar por los noventa y nueve anteriores, como se hizo en a).

4. Marcamos lo que comparten. Las dos le asignan a cada natural un solo número real, que es lo único que se le pide a una sucesión.

Respuesta: $a_1 = 2$ y $a_2 = \dfrac{9}{4}$

c)

1. Reconocemos la forma. Base que tiende a uno y exponente que se va a infinito: la indeterminación $1^{\infty}$.

2. Nombramos el límite. Es la definición misma del número $e$: $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = e \approx 2{,}7183$.

3. Comparamos con los términos de b). $a_1 = 2$ y $a_2 = \dfrac{9}{4}$ están todavía lejos de $2{,}7183$: la convergencia es lenta.

4. Comparamos las dos sucesiones. $a_n$ tiende a $e \approx 2{,}7183$ y $b_n$ tiende a $2$, por a). Son parecidas en tamaño y no tienen nada que ver entre sí.

Respuesta: $\lim_{n \to \infty} a_n = e \approx 2{,}7183$

d)

1. Miramos la primera condición de Leibniz. Hace falta que el módulo de los términos tienda a cero.

2. Usamos a). $b_n \to 2$, que no es cero.

3. Aplicamos el criterio del término general. Si el término no tiende a cero, la serie diverge, sea alternada o no. No hace falta ni empezar con Leibniz.

4. Marcamos el error típico. Ver que es alternada y que los términos son acotados no alcanza. Leibniz pide además que el módulo decrezca a cero, y acá crece hacia dos.

Respuesta: diverge, porque $b_n \to 2$ y el término no tiende a cero

1. Recordamos la suma geométrica. Para $|t| < 1$, $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} t^{k} = \dfrac{1}{1 - t}$.

2. Leemos al revés. La misma igualdad dice que $\dfrac{1}{1 - x}$ es la suma de $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} x^{k}$.

3. Damos la condición. Vale para $|x| < 1$. Fuera de ahí la función existe igual, pero la serie no la representa.

4. Marcamos el caso que se cae. En $x = 1$ la función ni siquiera está definida, y en $x = -1$ la serie oscila entre $1$ y $0$ sin converger.

Respuesta: $f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} x^{k}$, para $|x| < 1$

b)

1. Escribimos los coeficientes. Todos valen $1$: $c_k = 1$ para todo $k$.

2. Armamos el cociente. $\left|\dfrac{c_{k+1}}{c_k}\right| = 1$ para todo $k$.

3. Calculamos el radio. $R = \dfrac{1}{1} = 1$, que coincide con la condición $|x| < 1$ de a).

4. Estudiamos los bordes. En $x = 1$ y en $x = -1$ el término general no tiende a cero, así que la serie diverge en los dos. El intervalo de convergencia es $(-1, 1)$ abierto.

Respuesta: el radio es $R = 1$, con intervalo $(-1, 1)$

c)

1. Derivamos. $f'(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^{2}}$, $f^{(2)}(x) = \dfrac{2}{(1 - x)^{3}}$ y $f^{(3)}(x) = \dfrac{6}{(1 - x)^{4}}$.

2. Evaluamos en cero. $f(0) = 1$, $f'(0) = 1$, $f^{(2)}(0) = 2$ y $f^{(3)}(0) = 6$.

3. Dividimos por los factoriales. $\dfrac{1}{0!}$, $\dfrac{1}{1!}$, $\dfrac{2}{2!}$ y $\dfrac{6}{3!}$: todos dan $1$.

4. Escribimos el polinomio. $P_{3}(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$.

Respuesta: $P_{3}(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$

d)

1. Miramos el patrón de c). Los cuatro coeficientes dieron $1$, y la derivada de orden $k$ en cero vale $k!$, así que el coeficiente $k$-ésimo es $\dfrac{k!}{k!} = 1$ para todo $k$.

2. Escribimos la serie de Taylor. $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} x^{k}$, exactamente la de a).

3. Sacamos la conclusión. La serie geométrica es la serie de Taylor de esta función, y las dos convergen en el mismo intervalo, el que dio b).

4. Marcamos para qué sirve. Es el ladrillo con el que se arman otras series conocidas: reemplazando $x$ por $-x^{2}$ sale la del arco tangente, e integrando sale la del logaritmo.

Respuesta: la serie de Taylor de $f$ es $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} x^{k}$, la misma de a)