La serie geométrica

Una serie es geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo. Ese número es la razón, y se lo llama $r$ .

Es la única serie importante cuya suma se puede calcular exactamente con una fórmula sencilla, y por eso aparece todo el tiempo: sirve como referencia para comparar otras series.

El comportamiento depende solo del tamaño de la razón. Si el valor absoluto de $r$ es menor que $1$ , cada término es más chico que el anterior y la suma converge. Si es mayor o igual que $1$ , los términos no se achican lo suficiente y la serie diverge.

La fórmula tiene una trampa de escritura. El numerador es el primer término que efectivamente aparece en la suma, no siempre un $1$ . Si la serie arranca en $n = 0$ el primer término es $a$ , pero si arranca en $n = 1$ el primero ya viene multiplicado por $r$ .

Conviene calcular a mano cuál es el primer término en vez de aplicar la fórmula de memoria: ahí es donde se pierden más ejercicios.

\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1-r} \quad \text{si } |r| < 1

Cuándo se usa

Cuando cada término es el anterior multiplicado por un número fijo. Identificá la razón y verificá que su valor absoluto sea menor que uno. Fijate bien cuál es el primer término real de la suma, que depende de dónde arranca el índice.

Ejemplo 1

Calcular $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ .

Identificamos la razón. Cada término es la mitad del anterior, así que $r = \frac{1}{2}$ .
Verificamos la convergencia. Como $\frac{1}{2} < 1$ , la serie converge.
Identificamos el primer término. En $n = 0$ da $1$ .
Aplicamos la fórmula. Queda $\frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$ .
Respuesta: $2$

Ejemplo 2

Calcular $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^{n}}$ .

Identificamos la razón. Es $\frac{1}{4}$ , menor que $1$ , así que converge.
Buscamos el primer término. La serie arranca en $n = 1$ , así que el primero es $\frac{3}{4}$ .
Aplicamos la fórmula con ese numerador. Queda $\frac{3/4}{1 - 1/4} = \frac{3/4}{3/4}$ .
Simplificamos.
Respuesta: $1$

Error típico

Poner siempre $1$ en el numerador. Va el primer término real de la suma, que cambia según dónde arranque el índice.

Practicar

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