El número e como límite de sucesión

El número $e$ aparece como el límite de una sucesión muy concreta: $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$ . A primera vista parece que debería dar $1$ , porque la base tiende a $1$ y uno elevado a lo que sea es uno. Pero eso es una trampa: el exponente también crece, y las dos cosas se pelean.

La base se acerca a $1$ por arriba, así que cada factor aporta un poquito más de $1$ . El exponente multiplica esos aportes cada vez más veces. El resultado de esa pelea no es ni $1$ ni infinito: es un número irracional que vale aproximadamente $2{,}718$ .

Esta indeterminación se llama uno elevado a infinito y siempre que aparezca hay que trabajarla, nunca resolverla de memoria. La forma estándar es acomodar la expresión hasta que se parezca al límite conocido.

La versión general es útil: si una expresión que tiende a cero está en el lugar de $\frac{1}{n}$ y el exponente es su inverso, el límite es $e$ . Y si el exponente tiene un factor $k$ de más, el resultado es $e^{k}$ .

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e

Cuándo se usa

Cuando la base tiende a uno y el exponente al infinito. Nunca respondas que da uno. Acomodá la expresión para que el exponente sea el inverso de la fracción que acompaña, y compensá afuera lo que hayas agregado.

Ejemplo 1

Calcular $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^{n}$ .

Reconocemos la forma. Es uno elevado a infinito, así que hay que acomodarla.
Escribimos el exponente para que aparezca $\frac{n}{3}$ . La expresión es $\left[\left(1 + \frac{3}{n}\right)^{n/3}\right]^{3}$ .
El corchete tiende a $e$ , porque adentro está la forma conocida con $\frac{3}{n}$ en el lugar de la fracción y su inverso en el exponente.
Queda $e$ elevado a la $3$ .
Respuesta: $e^{3}$

Ejemplo 2

Calcular $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+2}{n}\right)^{n}$ .

Separamos la fracción. Queda $1 + \frac{2}{n}$ .
Reconocemos la forma con $k = 2$ .
Aplicamos el resultado general. El límite es $e$ elevado al numerador de la fracción que acompaña.
Respuesta: $e^{2}$

Error típico

Resolver $1^{\infty}$ diciendo que da $1$ . Es una indeterminación: hay que llevarla a la forma del límite conocido.

Practicar

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