Método

Ejercicios: El número e como límite de sucesión

lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá lim⁡n→∞(1+3n)n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{3}{n}\right)^{n}.

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1. Reconocemos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente al infinito: no da 11, hay que acomodar.

2. Buscamos la forma conocida. Queremos que el exponente sea el inverso de lo que se suma, o sea n3\dfrac{n}{3}.

3. Reescribimos. [(1+3n)n/3]3\left[\left(1 + \dfrac{3}{n}\right)^{n/3}\right]^{3}

4. Tomamos límite. El corchete tiende a ee, así que la sucesión converge a e3e^{3}.

Respuesta: converge a e3e^{3}

2. Calculá lim⁡n→∞(1+1n)4n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{4n}.

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1. Reconocemos la parte conocida. (1+1n)n\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} ya tiene la forma exacta y tiende a ee.

2. Separamos el exponente. (1+1n)4n=[(1+1n)n]4\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{4n} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^{4}

3. Tomamos límite. La base del corchete tiende a ee y el exponente de afuera es la constante 44.

4. Escribimos el resultado. El límite es e4e^{4}, aproximadamente 54,598254{,}5982.

Respuesta: converge a e4e^{4}

3. Calculá lim⁡n→∞(n+2n)n\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n + 2}{n}\right)^{n}.

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1. Separamos la fracción. n+2n=1+2n\dfrac{n + 2}{n} = 1 + \dfrac{2}{n}, que tiende a 11.

2. Confirmamos la indeterminación. Base que tiende a uno con exponente que se dispara: hay que acomodar en vez de responder 11.

3. Armamos la forma conocida. [(1+2n)n/2]2\left[\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^{n/2}\right]^{2}

4. Tomamos límite. El resultado es e2e^{2}.

Respuesta: converge a e2e^{2}

4. Explicá por qué lim⁡n→∞(1+1n)n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} no vale 11, y calculá el término n=10n = 10.

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1. Analizamos el argumento equivocado. Se suele razonar que la base tiende a 11 y que uno elevado a cualquier cosa da uno.

2. Vemos por qué falla. La base nunca vale exactamente 11: vale un poquito más, y ese poquito se multiplica por sí mismo cada vez más veces. Las dos cosas se pelean.

3. Calculamos un término concreto. Con n=10n = 10: (1+110)10≈2,5937\left(1 + \dfrac{1}{10}\right)^{10} \approx 2{,}5937, claramente mayor que 11.

4. Escribimos el límite. La sucesión es creciente y acotada, así que converge, y su límite es el número e≈2,7183e \approx 2{,}7183.

Respuesta: el límite es ee; con n=10n = 10 el término vale aproximadamente 2,59372{,}5937

5. Calculá lim⁡n→∞(1+2n)n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^{n}.

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1. Reconocemos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente al infinito: no da 11, hay que acomodar.

2. Buscamos la forma conocida. Queremos que el exponente sea el inverso de lo que se suma, o sea n2\dfrac{n}{2}.

3. Reescribimos. [(1+2n)n/2]2\left[\left(1 + \dfrac{2}{n}\right)^{n/2}\right]^{2}

4. Tomamos límite. El corchete tiende a ee, así que la sucesión converge a e2e^{2}.

Respuesta: converge a e2e^{2}

6. Calculá lim⁡n→∞(1+1n)6n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{6n}.

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1. Reconocemos la parte conocida. (1+1n)n\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} ya tiene la forma exacta y tiende a ee.

2. Separamos el exponente. (1+1n)6n=[(1+1n)n]6\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{6n} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^{6}

3. Tomamos límite. La base del corchete tiende a ee y el exponente de afuera es la constante 66.

4. Escribimos el resultado. El límite es e6e^{6}, aproximadamente 403,4288403{,}4288.

Respuesta: converge a e6e^{6}

7. Calculá lim⁡n→∞(n+6n)n\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n + 6}{n}\right)^{n}.

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1. Separamos la fracción. n+6n=1+6n\dfrac{n + 6}{n} = 1 + \dfrac{6}{n}, que tiende a 11.

2. Confirmamos la indeterminación. Base que tiende a uno con exponente que se dispara: hay que acomodar en vez de responder 11.

3. Armamos la forma conocida. [(1+6n)n/6]6\left[\left(1 + \dfrac{6}{n}\right)^{n/6}\right]^{6}

4. Tomamos límite. El resultado es e6e^{6}.

Respuesta: converge a e6e^{6}

8. Explicá por qué lim⁡n→∞(1+1n)n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} no vale 11, y calculá el término n=100n = 100.

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1. Analizamos el argumento equivocado. Se suele razonar que la base tiende a 11 y que uno elevado a cualquier cosa da uno.

2. Vemos por qué falla. La base nunca vale exactamente 11: vale un poquito más, y ese poquito se multiplica por sí mismo cada vez más veces. Las dos cosas se pelean.

3. Calculamos un término concreto. Con n=100n = 100: (1+1100)100≈2,7048\left(1 + \dfrac{1}{100}\right)^{100} \approx 2{,}7048, claramente mayor que 11.

4. Escribimos el límite. La sucesión es creciente y acotada, así que converge, y su límite es el número e≈2,7183e \approx 2{,}7183.

Respuesta: el límite es ee; con n=100n = 100 el término vale aproximadamente 2,70482{,}7048

9. Calculá lim⁡n→∞(1+4n)n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{4}{n}\right)^{n}.

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1. Reconocemos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente al infinito: no da 11, hay que acomodar.

2. Buscamos la forma conocida. Queremos que el exponente sea el inverso de lo que se suma, o sea n4\dfrac{n}{4}.

3. Reescribimos. [(1+4n)n/4]4\left[\left(1 + \dfrac{4}{n}\right)^{n/4}\right]^{4}

4. Tomamos límite. El corchete tiende a ee, así que la sucesión converge a e4e^{4}.

Respuesta: converge a e4e^{4}

10. Calculá lim⁡n→∞(1+1n)3n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{3n}.

Ver solución

1. Reconocemos la parte conocida. (1+1n)n\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} ya tiene la forma exacta y tiende a ee.

2. Separamos el exponente. (1+1n)3n=[(1+1n)n]3\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{3n} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}\right]^{3}

3. Tomamos límite. La base del corchete tiende a ee y el exponente de afuera es la constante 33.

4. Escribimos el resultado. El límite es e3e^{3}, aproximadamente 20,085520{,}0855.

Respuesta: converge a e3e^{3}

11. Calculá lim⁡n→∞(n+3n)n\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{n + 3}{n}\right)^{n}.

Ver solución

1. Separamos la fracción. n+3n=1+3n\dfrac{n + 3}{n} = 1 + \dfrac{3}{n}, que tiende a 11.

2. Confirmamos la indeterminación. Base que tiende a uno con exponente que se dispara: hay que acomodar en vez de responder 11.

3. Armamos la forma conocida. [(1+3n)n/3]3\left[\left(1 + \dfrac{3}{n}\right)^{n/3}\right]^{3}

4. Tomamos límite. El resultado es e3e^{3}.

Respuesta: converge a e3e^{3}

12. Explicá por qué lim⁡n→∞(1+1n)n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} no vale 11, y calculá el término n=20n = 20.

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1. Analizamos el argumento equivocado. Se suele razonar que la base tiende a 11 y que uno elevado a cualquier cosa da uno.

2. Vemos por qué falla. La base nunca vale exactamente 11: vale un poquito más, y ese poquito se multiplica por sí mismo cada vez más veces. Las dos cosas se pelean.

3. Calculamos un término concreto. Con n=20n = 20: (1+120)20≈2,6533\left(1 + \dfrac{1}{20}\right)^{20} \approx 2{,}6533, claramente mayor que 11.

4. Escribimos el límite. La sucesión es creciente y acotada, así que converge, y su límite es el número e≈2,7183e \approx 2{,}7183.

Respuesta: el límite es ee; con n=20n = 20 el término vale aproximadamente 2,65332{,}6533

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