Ejercicios: Sucesiones por recurrencia

a_{n+1} = f(a_{n}), \quad a_{1} = c

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Escribí los primeros cinco términos de la sucesión definida por $a_{1} = 3$ y $a_{n+1} = 2a_{n} + 2$ .

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1. Leemos la definición. Se da el primer término y una regla para pasar de uno al siguiente: no hay fórmula directa del término general.

2. Calculamos los dos siguientes. $a_{2} = 2 \cdot 3 + 2 = 8$ y $a_{3} = 2 \cdot 8 + 2 = 18$ .

3. Seguimos. $a_{4} = 38$ y $a_{5} = 78$ .

4. Observamos. Para conocer $a_{5}$ hubo que calcular todos los anteriores: esa es la desventaja de la definición por recurrencia.

Respuesta: $3$ , $8$ , $18$ , $38$ , $78$

2. La sucesión cumple $a_{1} = 1$ y $a_{n+1} = a_{n} + 5$ . Reconocé de qué tipo es y escribí su fórmula explícita.

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1. Miramos qué hace la regla. Cada término se obtiene sumando siempre $5$ : la diferencia entre consecutivos es constante.

2. Clasificamos. Es una progresión aritmética de razón $5$ .

3. Armamos la fórmula. Del primero al $n$ -ésimo hay $n - 1$ pasos, así que $a_{n} = 1 + 5(n - 1) = 5 n - 4$ .

4. Verificamos. $a_{1} = 1$ y $a_{2} = 6$ , que coincide con sumar $5$ .

Respuesta: es aritmética, con $a_{n} = 5 n - 4$

3. La sucesión $a_{1} = 1$ , $a_{n+1} = \dfrac{a_{n} + 3}{2}$ converge. Hallá su límite.

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1. Usamos que el límite existe. Si $a_{n} \to L$ , entonces $a_{n+1}$ también tiende a $L$ , porque es la misma sucesión corrida un lugar.

2. Tomamos límite en los dos lados de la recurrencia. $L = \dfrac{L + 3}{2}$

3. Resolvemos la ecuación. $2L = L + 3$ , así que $L = 3$ .

4. Controlamos el resultado. Los primeros términos son $1$ , $2$ , y se van acercando a $3$ . Ojo: este método requiere saber de antemano que converge.

Respuesta: el límite es $3$

4. Un capital de $5000$ pesos gana un $20$ por ciento anual. Escribí la recurrencia y la fórmula explícita del capital al año $n$ .

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1. Escribimos la regla de un año al siguiente. El capital nuevo es el anterior más su $20$ por ciento: $C_{n+1} = \dfrac{6}{5}C_{n}$ , con $C_{0} = 5000$ .

2. Clasificamos. Cada término se obtiene multiplicando por el mismo factor: es una progresión geométrica de razón $\dfrac{6}{5}$ .

3. Escribimos la fórmula explícita. $C_{n} = 5000 \cdot \dfrac{6}{5}^{n}$

4. Verificamos con un año. $C_{1} = 6000$ , que es el capital más el interés del primer año.

Respuesta: $C_{n+1} = \dfrac{6}{5}C_{n}$ , o sea $C_{n} = 5000 \cdot \dfrac{6}{5}^{n}$

5. Escribí los primeros cinco términos de la sucesión definida por $a_{1} = 2$ y $a_{n+1} = 2a_{n} + 5$ .

Ver solución

1. Leemos la definición. Se da el primer término y una regla para pasar de uno al siguiente: no hay fórmula directa del término general.

2. Calculamos los dos siguientes. $a_{2} = 2 \cdot 2 + 5 = 9$ y $a_{3} = 2 \cdot 9 + 5 = 23$ .

3. Seguimos. $a_{4} = 51$ y $a_{5} = 107$ .

4. Observamos. Para conocer $a_{5}$ hubo que calcular todos los anteriores: esa es la desventaja de la definición por recurrencia.

Respuesta: $2$ , $9$ , $23$ , $51$ , $107$

6. La sucesión cumple $a_{1} = 4$ y $a_{n+1} = a_{n} + 2$ . Reconocé de qué tipo es y escribí su fórmula explícita.

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1. Miramos qué hace la regla. Cada término se obtiene sumando siempre $2$ : la diferencia entre consecutivos es constante.

2. Clasificamos. Es una progresión aritmética de razón $2$ .

3. Armamos la fórmula. Del primero al $n$ -ésimo hay $n - 1$ pasos, así que $a_{n} = 4 + 2(n - 1) = 2 n + 2$ .

4. Verificamos. $a_{1} = 4$ y $a_{2} = 6$ , que coincide con sumar $2$ .

Respuesta: es aritmética, con $a_{n} = 2 n + 2$

7. La sucesión $a_{1} = 1$ , $a_{n+1} = \dfrac{a_{n} + 2}{2}$ converge. Hallá su límite.

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1. Usamos que el límite existe. Si $a_{n} \to L$ , entonces $a_{n+1}$ también tiende a $L$ , porque es la misma sucesión corrida un lugar.

2. Tomamos límite en los dos lados de la recurrencia. $L = \dfrac{L + 2}{2}$

3. Resolvemos la ecuación. $2L = L + 2$ , así que $L = 2$ .

4. Controlamos el resultado. Los primeros términos son $1$ , $\dfrac{3}{2}$ , y se van acercando a $2$ . Ojo: este método requiere saber de antemano que converge.

Respuesta: el límite es $2$

8. Un capital de $20000$ pesos gana un $10$ por ciento anual. Escribí la recurrencia y la fórmula explícita del capital al año $n$ .

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1. Escribimos la regla de un año al siguiente. El capital nuevo es el anterior más su $10$ por ciento: $C_{n+1} = \dfrac{11}{10}C_{n}$ , con $C_{0} = 20000$ .

2. Clasificamos. Cada término se obtiene multiplicando por el mismo factor: es una progresión geométrica de razón $\dfrac{11}{10}$ .

3. Escribimos la fórmula explícita. $C_{n} = 20000 \cdot \dfrac{11}{10}^{n}$

4. Verificamos con un año. $C_{1} = 22000$ , que es el capital más el interés del primer año.

Respuesta: $C_{n+1} = \dfrac{11}{10}C_{n}$ , o sea $C_{n} = 20000 \cdot \dfrac{11}{10}^{n}$

9. Escribí los primeros cinco términos de la sucesión definida por $a_{1} = 1$ y $a_{n+1} = 2a_{n} + 6$ .

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1. Leemos la definición. Se da el primer término y una regla para pasar de uno al siguiente: no hay fórmula directa del término general.

2. Calculamos los dos siguientes. $a_{2} = 2 \cdot 1 + 6 = 8$ y $a_{3} = 2 \cdot 8 + 6 = 22$ .

3. Seguimos. $a_{4} = 50$ y $a_{5} = 106$ .

4. Observamos. Para conocer $a_{5}$ hubo que calcular todos los anteriores: esa es la desventaja de la definición por recurrencia.

Respuesta: $1$ , $8$ , $22$ , $50$ , $106$

10. La sucesión cumple $a_{1} = 2$ y $a_{n+1} = a_{n} + 6$ . Reconocé de qué tipo es y escribí su fórmula explícita.

Ver solución

1. Miramos qué hace la regla. Cada término se obtiene sumando siempre $6$ : la diferencia entre consecutivos es constante.

2. Clasificamos. Es una progresión aritmética de razón $6$ .

3. Armamos la fórmula. Del primero al $n$ -ésimo hay $n - 1$ pasos, así que $a_{n} = 2 + 6(n - 1) = 6 n - 4$ .

4. Verificamos. $a_{1} = 2$ y $a_{2} = 8$ , que coincide con sumar $6$ .

Respuesta: es aritmética, con $a_{n} = 6 n - 4$

11. La sucesión $a_{1} = 1$ , $a_{n+1} = \dfrac{a_{n} + 7}{2}$ converge. Hallá su límite.

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1. Usamos que el límite existe. Si $a_{n} \to L$ , entonces $a_{n+1}$ también tiende a $L$ , porque es la misma sucesión corrida un lugar.

2. Tomamos límite en los dos lados de la recurrencia. $L = \dfrac{L + 7}{2}$

3. Resolvemos la ecuación. $2L = L + 7$ , así que $L = 7$ .

4. Controlamos el resultado. Los primeros términos son $1$ , $4$ , y se van acercando a $7$ . Ojo: este método requiere saber de antemano que converge.

Respuesta: el límite es $7$

12. Un capital de $15000$ pesos gana un $4$ por ciento anual. Escribí la recurrencia y la fórmula explícita del capital al año $n$ .

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1. Escribimos la regla de un año al siguiente. El capital nuevo es el anterior más su $4$ por ciento: $C_{n+1} = \dfrac{26}{25}C_{n}$ , con $C_{0} = 15000$ .

2. Clasificamos. Cada término se obtiene multiplicando por el mismo factor: es una progresión geométrica de razón $\dfrac{26}{25}$ .

3. Escribimos la fórmula explícita. $C_{n} = 15000 \cdot \dfrac{26}{25}^{n}$

4. Verificamos con un año. $C_{1} = 15600$ , que es el capital más el interés del primer año.

Respuesta: $C_{n+1} = \dfrac{26}{25}C_{n}$ , o sea $C_{n} = 15000 \cdot \dfrac{26}{25}^{n}$

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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