Sucesiones por recurrencia

Una sucesión también se puede definir sin fórmula del término general: se da el primer término y una regla que explica cómo obtener cada uno a partir del anterior. Eso es una definición por recurrencia.

La ventaja es que muchas situaciones reales se describen así de forma natural. Un capital que gana intereses, una población que crece un porcentaje por año o un método numérico que va refinando una aproximación se escriben mucho más fácil diciendo qué le pasa al término siguiente que buscando una fórmula cerrada.

La desventaja es que para conocer $a_{100}$ hay que calcular los noventa y nueve anteriores, salvo que se logre encontrar la fórmula explícita.

Para estudiar el límite de una sucesión recurrente el camino tiene dos pasos. Primero se prueba que converge, casi siempre mostrando que es monótona y acotada. Recién después se calcula el límite, y para eso se usa un truco: si $a_{n} \to L$ , entonces $a_{n+1}$ también tiende a $L$ , porque es la misma sucesión corrida un lugar. Reemplazando ambos por $L$ en la regla queda una ecuación común.

El orden importa. Si se calcula el límite sin haber probado que existe, se puede llegar a un número que no significa nada.

a_{n+1} = f(a_{n}), \quad a_{1} = c

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da el primer término y una regla para pasar al siguiente. Para el límite, reemplazá el término y el siguiente por la misma letra y despejá, pero solo después de haber probado que la sucesión converge.

Ejemplo 1

Calcular los primeros cuatro términos de $a_{1} = 2$ , $a_{n+1} = \frac{a_{n}}{2} + 1$ .

Arrancamos con el dato. El primero es $2$ .
Aplicamos la regla. $a_{2} = \frac{2}{2} + 1 = 2$ .
Seguimos. $a_{3} = \frac{2}{2} + 1 = 2$ , y lo mismo $a_{4}$ .
Interpretamos. La sucesión es constante: el valor inicial ya cumple la ecuación de punto fijo.
Respuesta: $2, 2, 2, 2$

Ejemplo 2

Hallar el límite de $a_{1} = 1$ , $a_{n+1} = \frac{a_{n} + 6}{2}$ , sabiendo que converge.

Usamos que el corrimiento no cambia el límite. Si $a_{n} \to L$ , entonces $a_{n+1} \to L$ también.
Reemplazamos en la regla. Queda $L = \frac{L + 6}{2}$ .
Despejamos. Multiplicando por $2$ se obtiene $2L = L + 6$ , o sea $L = 6$ .
Verificamos que sea coherente. Los primeros términos son $1; 3{,}5; 4{,}75$ , que suben hacia $6$ .
Respuesta: $L = 6$

Error típico

Plantear la ecuación del límite sin haber probado antes que la sucesión converge. El número que sale puede no ser el límite de nada.

Practicar

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