Series alternadas

Una serie es alternada cuando los signos van cambiando: uno positivo, uno negativo, y así. Esa alternancia ayuda, porque cada término compensa en parte al anterior y las sumas parciales quedan encerradas en un intervalo que se achica.

El criterio de Leibniz aprovecha eso. Si los valores absolutos de los términos decrecen y tienden a cero, la serie alternada converge. Son dos condiciones y las dos hacen falta: no alcanza con que tiendan a cero si en el camino suben y bajan.

Este criterio trae un regalo: acota el error. Si uno corta la suma en el término $N$ , la diferencia con el valor real es menor que el primer término que quedó afuera. Eso permite decir cuántos términos hacen falta para tener la precisión que se quiere.

Hay que distinguir dos formas de converger. Una serie converge absolutamente si la serie de los valores absolutos converge. Converge condicionalmente si converge, pero la de los valores absolutos no.

La armónica alternada es el ejemplo clásico de convergencia condicional: converge por Leibniz, pero al sacarle los signos queda la armónica, que diverge.

\sum (-1)^{n} b_{n} \ \text{converge si } b_{n} \text{ decrece y } b_{n} \to 0

Cuándo se usa

Cuando los signos se van alternando. Verificá que los valores absolutos decrezcan y tiendan a cero. Si además piden el error de cortar la suma, es menor que el primer término que quedó afuera.

Ejemplo 1

Decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}$ converge y de qué forma.

Verificamos las dos condiciones de Leibniz. Los valores absolutos son $\frac{1}{n}$ , que decrecen y tienden a cero.
Concluimos que converge por el criterio.
Estudiamos la convergencia absoluta. Al sacar los signos queda la armónica, que diverge.
Como converge pero no absolutamente, la convergencia es condicional.
Respuesta: converge condicionalmente

Ejemplo 2

Estimar cuántos términos hacen falta en $\sum \frac{(-1)^{n}}{n}$ para que el error sea menor que $0{,}01$ .

Usamos la cota de Leibniz. El error es menor que el primer término descartado, que es $\frac{1}{N+1}$ .
Planteamos la condición. Pedimos $\frac{1}{N+1} < 0{,}01$ .
Despejamos. Queda $N + 1 > 100$ , o sea $N > 99$ .
Respuesta: alcanza con $100$ términos

Error típico

Aplicar Leibniz sin chequear que los valores absolutos decrezcan. Tender a cero solo no alcanza.

Practicar

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